Calcule a área sob a curva f(x) = e^(arctan(x)) / (1 + x^2) no intervalo de [-1, 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área sob a curva da função no intervalo de . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Não se preocupe se isso parecer complicado agora, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. Calcular a área sob uma curva entre dois pontos é o mesmo que calcular a integral definida dessa função nesse intervalo. Então, nosso objetivo é encontrar:

Passo 3

Agora, vamos escolher uma estratégia para resolver essa integral. Observando a função, percebemos que o denominador é a derivada de . Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar:

Passo 4

Com essa substituição, precisamos encontrar . Sabemos que:
Perceba que aparece exatamente na nossa integral! Isso simplifica muito as coisas.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral em termos de :
Integrar em relação a é simples:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original substituindo :
Como estamos trabalhando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de a :

Passo 7

Vamos calcular e :
Substituindo na expressão:

Resposta

A área sob a curva no intervalo de é:

Exercícios relacionados

Verifique se a função F(x) é uma primitiva da função f(x) (ou seja, se F'(x) = f(x) ). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
b) Para f(x) = cos^3(x), a primitiva é
F(x) = sen(x) - 1/3 * sen^3(x) + C
Certifique-se de calcular F'(x) para confirmar a relação.
Verifique se a função F(x) é uma primitiva da função f(x) (ou seja, se F'(x) = f(x) ). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
a) Para f(x) = x / raiz(a + b x), temos
F(x) = (2 / (3 * b^2)) * (b * x - 2 * a) * raiz(a + b * x) + C
Certifique-se de calcular F'(x) para confirmar a relação.
Verifique se a função é diferenciável na origem
c) f(x, y)= 2 x y^2x^2+y^4 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Determine y' em cada um dos itens. y = cos^2(cos(tg(x) + x))