Calcule a área sob a curva
no intervalo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área sob a curva da função
no intervalo de
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Não se preocupe se isso parecer complicado agora, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer. Calcular a área sob uma curva entre dois pontos é o mesmo que calcular a integral definida dessa função nesse intervalo. Então, nosso objetivo é encontrar:
Passo 3
Agora, vamos escolher uma estratégia para resolver essa integral. Observando a função, percebemos que o denominador
é a derivada de
. Isso sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos chamar:
Passo 4
Com essa substituição, precisamos encontrar
. Sabemos que:
Perceba que
aparece exatamente na nossa integral! Isso simplifica muito as coisas.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
:
Integrar
em relação a
é simples:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar à variável original
substituindo
:
Como estamos trabalhando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de
a
:
Passo 7
Vamos calcular
e
:
Substituindo na expressão:
Resposta
A área sob a curva no intervalo de
é:
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é uma primitiva da função
(ou seja, se
). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
b) Para , a primitiva é
b) Para
Certifique-se de calcular
para confirmar a relação.
Verifique se a função
é uma primitiva da função
(ou seja, se
). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
a) Para , temos
a) Para
Certifique-se de calcular
para confirmar a relação.
Verifique se a função é diferenciável na origem
c)
c)
Determine
em cada um dos itens.