Verifique se a função
é uma primitiva da função
(ou seja, se
). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
b) Para
, a primitiva é
Certifique-se de calcular
para confirmar a relação.
b) Para
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função
é uma primitiva da função
. Basicamente, precisamos ver se, ao derivar
, a gente retorna a
. Além disso, vamos reescrever essas relações na forma de integral indefinida. Para isso, vamos usar conceitos de derivada e antiderivada (primitiva).
Passo 2
Primeiro, vamos derivar
para ver se obtemos
. Lembre-se que derivar uma função significa encontrar a taxa de variação dela em relação a
.
A função dada é:
Vamos derivar termo a termo.
Passo 3
Derivando o primeiro termo,
:
Isso porque a derivada do seno é o cosseno.
Passo 4
Agora, derivando o segundo termo,
:
Primeiro, usamos a regra da cadeia. A derivada de é
, então:
Primeiro, usamos a regra da cadeia. A derivada de
Passo 5
O termo constante
tem derivada zero:
Passo 6
Juntando tudo, a derivada de
é:
Passo 7
Vamos simplificar
:
Sabemos que
pela identidade trigonométrica. Então:
Passo 8
Comparando com
, vemos que:
Isso confirma que
é realmente uma primitiva de
.
Passo 9
Agora, vamos escrever as relações na forma de integral indefinida. Sabemos que:
Substituindo
:
E como já confirmamos que
, temos:
Resposta
Sim,
é uma primitiva de
. Além disso, a integral indefinida é:
Exercícios relacionados
Verifique se a função
é uma primitiva da função
(ou seja, se
). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
a) Para , temos
a) Para
Certifique-se de calcular
para confirmar a relação.
Questão-12. Esboce a região de integração em cada caso
a)
a)
Calcule a área sob a curva
no intervalo de
.
Verifique se a função é diferenciável na origem
c)
c)