Verifique se a função F(x) é uma primitiva da função f(x) (ou seja, se F'(x) = f(x) ). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
b) Para f(x) = cos^3(x), a primitiva é
F(x) = sen(x) - 1/3 * sen^3(x) + C
Certifique-se de calcular F'(x) para confirmar a relação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função é uma primitiva da função . Basicamente, precisamos ver se, ao derivar , a gente retorna a . Além disso, vamos reescrever essas relações na forma de integral indefinida. Para isso, vamos usar conceitos de derivada e antiderivada (primitiva).

Passo 2

Primeiro, vamos derivar para ver se obtemos . Lembre-se que derivar uma função significa encontrar a taxa de variação dela em relação a .
A função dada é:
Vamos derivar termo a termo.

Passo 3

Derivando o primeiro termo, :
Isso porque a derivada do seno é o cosseno.

Passo 4

Agora, derivando o segundo termo, :
Primeiro, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , então:

Passo 5

O termo constante tem derivada zero:

Passo 6

Juntando tudo, a derivada de é:

Passo 7

Vamos simplificar :
Sabemos que pela identidade trigonométrica. Então:

Passo 8

Comparando com , vemos que:
Isso confirma que é realmente uma primitiva de .

Passo 9

Agora, vamos escrever as relações na forma de integral indefinida. Sabemos que:
Substituindo :
E como já confirmamos que , temos:

Resposta

Sim, é uma primitiva de . Além disso, a integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Verifique se a função F(x) é uma primitiva da função f(x) (ou seja, se F'(x) = f(x) ). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
a) Para f(x) = x / raiz(a + b x), temos
F(x) = (2 / (3 * b^2)) * (b * x - 2 * a) * raiz(a + b * x) + C
Certifique-se de calcular F'(x) para confirmar a relação.
Questão-12. Esboce a região de integração em cada caso
a) integral1^2 integral0^2 x x y^3 d y d x
Calcule a área sob a curva f(x) = e^(arctan(x)) / (1 + x^2) no intervalo de [-1, 1].
Verifique se a função é diferenciável na origem
c) f(x, y)= 2 x y^2x^2+y^4 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)