Verifique se a função é diferenciável na origem
c) f(x, y)= 2 x y^2x^2+y^4 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a função f(x, y)= 2 x y^2x^2+y^4 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0) é diferenciável na origem . A função dada é:
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e limites. Precisamos calcular as derivadas parciais de em e verificar se o comportamento da função próximo à origem se alinha com a definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h em f(h,0) = 2h cdot 0^2h^2 + 0^4 = 0 .
A derivada parcial em relação a fx(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0 na origem é:
fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k
Substituindo na função:
f(0,k) = 2 cdot 0 cdot k^20^2 + k^4 = 0
Então:
fy(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0
De forma similar, a derivada parcial em relação a na origem é:
Substituindo na função:
Então:
Portanto, ambas as derivadas parciais existentes e são iguais a zero na origem.

Passo 3

Agora, para a função ser diferenciável na origem, o seguinte limite deve ser zero:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) - f(0,0) - fx(0,0)x - fy(0,0)yraizx^2 + y^2 = 0
Substituindo os valores que já sabemos:
lim(x,y) to (0,0) 2xy^2x^2 + y^4 - 0 - 0 cdot x - 0 cdot yraizx^2 + y^2 = lim(x,y) to (0,0) 2xy^2(x^2 + y^4)raizx^2 + y^2
Vamos analisar esse limite. Se considerarmos caminhos diferentes para 2x(x^1/2)^2x^2 + (x^1/2)^4 cdot 1raizx^2 + x^2 = 2x cdot xx^2 + x^2 cdot 1x = 2x^22x^2 cdot 1x = 1x se aproximando de , podemos verificar se o limite é o mesmo.
Por exemplo, se tomarmos :
À medida que , esse valor tende ao infinito, o que indica que o limite não existe ou não é zero.

Resposta

Como o limite não é zero, a função não é diferenciável na origem .

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