Verifique se a função é diferenciável na origem
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos verificar se a função
é diferenciável na origem
. A função dada é:
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e limites. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em
e verificar se o comportamento da função próximo à origem se alinha com a definição de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em
.
A derivada parcial em relação a
na origem é:
Substituindo na função:
Então:
De forma similar, a derivada parcial em relação a
na origem é:
Substituindo na função:
Então:
Portanto, ambas as derivadas parciais existentes e são iguais a zero na origem.
Passo 3
Agora, para a função ser diferenciável na origem, o seguinte limite deve ser zero:
Substituindo os valores que já sabemos:
Vamos analisar esse limite. Se considerarmos caminhos diferentes para
se aproximando de
, podemos verificar se o limite é o mesmo.
Por exemplo, se tomarmos
:
À medida que
, esse valor tende ao infinito, o que indica que o limite não existe ou não é zero.
Resposta
Como o limite não é zero, a função
não é diferenciável na origem
.
Exercícios relacionados
Calcule a área sob a curva
no intervalo de
.
Verifique se a função
é uma primitiva da função
(ou seja, se
). Em seguida, escreva cada uma das relações na forma de integral indefinida.
b) Para , a primitiva é
b) Para
Certifique-se de calcular
para confirmar a relação.
Determine
em cada um dos itens.
Determine
em cada um dos itens.