Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números
que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função
satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio no intervalo
. Então, se satisfaz, a gente precisa encontrar todos os números
que obedecem a conclusão desse teorema. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema do Valor Médio e como aplicá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio (TVM). Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada da função é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo. Em fórmula:
Passo 3
Agora, vamos verificar as condições do TVM para a função
no intervalo
.
Continuidade: A função valor absoluto é contínua em todos os pontos, então
é contínua em
.
Diferenciabilidade: Precisamos checar se
é diferenciável em todo ponto dentro de
. A fun�o
tem um ponto de não diferenciabilidade em
porque o gráfico tem um “canto” ali. Então,
não é diferenciável em
.
Passo 4
Como o TVM requer que a função seja diferenciável em todo o intervalo aberto
e encontramos que
não é diferenciável em
, concluímos que a função não satisfaz todas as hipóteses do Teorema do Valor Médio nesse intervalo.
Resposta
A função
não satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo
, portanto, não existe nenhum número
que cumpra a conclusão do teorema nesse caso.
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que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
Use a Regra de L
Calcule a derivada das seguintes funções:
Seção 5.4:
.