Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio no intervalo . Então, se satisfaz, a gente precisa encontrar todos os números que obedecem a conclusão desse teorema. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema do Valor Médio e como aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio (TVM). Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada da função é igual à taxa de variação média da função nesse intervalo. Em fórmula:

Passo 3

Agora, vamos verificar as condições do TVM para a função no intervalo .
Continuidade: A função valor absoluto é contínua em todos os pontos, então é contínua em .
Diferenciabilidade: Precisamos checar se é diferenciável em todo ponto dentro de . A funç��o tem um ponto de não diferenciabilidade em porque o gráfico tem um “canto” ali. Então, não é diferenciável em .

Passo 4

Como o TVM requer que a função seja diferenciável em todo o intervalo aberto e encontramos que não é diferenciável em , concluímos que a função não satisfaz todas as hipóteses do Teorema do Valor Médio nesse intervalo.

Resposta

A função não satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo , portanto, não existe nenhum número que cumpra a conclusão do teorema nesse caso.

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Use a Regra de L
Calcule a derivada das seguintes funções:
Seção 5.4: .