Calcule a derivada das seguintes funções: y = (cos(x))^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos lidando com funções exponenciais onde tanto a base quanto o expoente dependem de . Para resolver isso, vamos precisar usar a derivação logarítmica, que é uma técnica útil quando temos variáveis tanto na base quanto no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para simplificar a derivação. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade dos logaritmos que diz que . Aplicando isso, a equação fica:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então precisamos usar a regra da cadeia no lado esquerdo:
Derivando cada lado, temos:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Usando a regra da cadeia:
Substituindo isso na equação anterior:

Passo 6

Finalmente, isolamos multiplicando ambos os lados por :
E como , substituímos de volta:

Resposta

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