Verifique se a funçâo
satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo indicado
, caso afirmativo, determine todos
tais que
.
;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a função
satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo
. Se satisfizer, temos que encontrar todos os valores de
nesse intervalo que fazem a igualdade
ser verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema do Valor Médio e como aplicá-lo usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio (TVM). Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado
e derivável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que a derivada da função nesse ponto é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos
e
. Em fórmulas, isso é:
Então, nosso primeiro passo é verificar se
atende às condições do TVM no intervalo dado.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade e a derivabilidade da função
.
-
Continuidade: Polinômios são contínuos em todos os lugares, então
é contínua no intervalo . -
Derivabilidade: Também, polinômios são diferenciáveis em todos os lugares, então
é derivável no intervalo .
Como a função atende às duas condições do TVM, podemos afirmar que o Teorema do Valor Médio se aplica nesse caso.
Passo 4
Agora, vamos calcular a inclinação da reta secante, que é
. Aqui,
e
.
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, a inclinação da reta secante:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de
é:
Segundo o Teorema do Valor Médio, queremos encontrar
tal que:
Substituindo a derivada:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
:
Resposta
A função
satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo
. O valor de
que atende a condição
é
.
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Mostre que as funçōes abaixo satisfazem as hipóteses do Teorema de Rolle, no intervalo indicado e determine todos os números
, tais que
.
;