Verifique se a funçâo f satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo indicado [a, b], caso afirmativo, determine todos c in [a, b] tais que f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
f(x) = (1/4) x^2 + 1 em [-1, 4];

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se a função satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo . Se satisfizer, temos que encontrar todos os valores de nesse intervalo que fazem a igualdade ser verdadeira. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema do Valor Médio e como aplicá-lo usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Valor Médio (TVM). Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado e derivável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em tal que a derivada da função nesse ponto é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos e . Em fórmulas, isso é:
Então, nosso primeiro passo é verificar se atende às condições do TVM no intervalo dado.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade e a derivabilidade da função .
  • Continuidade: Polinômios são contínuos em todos os lugares, então é contínua no intervalo .
  • Derivabilidade: Também, polinômios são diferenciáveis em todos os lugares, então é derivável no intervalo .
Como a função atende às duas condições do TVM, podemos afirmar que o Teorema do Valor Médio se aplica nesse caso.

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da reta secante, que é . Aqui, e .
Primeiro, calculamos e :
Agora, a inclinação da reta secante:

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de é:
Segundo o Teorema do Valor Médio, queremos encontrar tal que:
Substituindo a derivada:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar :

Resposta

A função satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo . O valor de que atende a condição é .

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