Mostre que as funçōes abaixo satisfazem as hipóteses do Teorema de Rolle, no intervalo indicado e determine todos os números
, tais que
.
;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função
definida no intervalo
. Precisamos mostrar que essa função satisfaz as condições do Teorema de Rolle nesse intervalo e, em seguida, encontrar todos os números
dentro de
tais que a derivada de
em
seja zero, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Rolle. Esse teorema diz que se uma função
satisfaz três condições em um intervalo fechado
:
- A função
é contínua em . - A função
é diferenciável em . - Os valores da função nas extremidades do intervalo são iguais, ou seja,
.
Então, existe pelo menos um número
em
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
satisfaz essas três condições no intervalo
:
- Continuidade: A função
é um polinômio, e polinômios são contínuos em todos os pontos. Portanto, é contínua em . - Diferenciabilidade: Novamente, como
é um polinômio, ela é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, incluindo em . - Valores nas extremidades iguais: Vamos calcular
e : Vemos que .
Passo 4
Como todas as três condições do Teorema de Rolle são satisfeitas pela função
no intervalo
, podemos aplicar o teorema. Isso garante que existe pelo menos um número
em
tal que
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar todos os números
em
onde
. Primeiramente, calculamos a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos para
:
Então,
.
Resposta
A função
satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo
. O número
em
que satisfaz
é
.
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Verifique se a funçâo
satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo indicado
, caso afirmativo, determine todos
tais que
.
;
Derive cada função abaixo.