Mostre que as funçōes abaixo satisfazem as hipóteses do Teorema de Rolle, no intervalo indicado e determine todos os números , tais que .
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Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a função definida no intervalo . Precisamos mostrar que essa função satisfaz as condições do Teorema de Rolle nesse intervalo e, em seguida, encontrar todos os números dentro de tais que a derivada de em seja zero, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Rolle. Esse teorema diz que se uma função satisfaz três condições em um intervalo fechado :
  1. A função é contínua em .
  2. A função é diferenciável em .
  3. Os valores da função nas extremidades do intervalo são iguais, ou seja, .
Então, existe pelo menos um número em tal que .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função satisfaz essas três condições no intervalo :
  1. Continuidade: A função é um polinômio, e polinômios são contínuos em todos os pontos. Portanto, é contínua em .
  2. Diferenciabilidade: Novamente, como é um polinômio, ela é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, incluindo em .
  3. Valores nas extremidades iguais: Vamos calcular e : Vemos que .

Passo 4

Como todas as três condições do Teorema de Rolle são satisfeitas pela função no intervalo , podemos aplicar o teorema. Isso garante que existe pelo menos um número em tal que .

Passo 5

Agora, vamos encontrar todos os números em onde . Primeiramente, calculamos a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos para :
Então, .

Resposta

A função satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo . O número em que satisfaz é .

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Verifique se a funçâo satisfaz o Teorema do Valor Médio no intervalo indicado , caso afirmativo, determine todos tais que .
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Derive cada função abaixo.