A funçao satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo ?
(1.0) Caso afimativo, encontre conforme o Teorema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se a função satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo . O Teorema de Rolle é um conceito de Cálculo que vamos precisar entender para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Rolle. Ele afirma que se uma função é contínua no intervalo fechado , diferenciável no intervalo aberto e que , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada de é zero, ou seja, .

Passo 3

Vamos verificar se a função cumpre essas condições no intervalo :
  1. Continuidade: A função é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Então, é contínua em .
  2. Diferenciabilidade: Da mesma forma, polinômios são diferenciáveis em todo o seu domínio. Portanto, é diferenciável em .
  3. Valores nos extremos do intervalo: Vamos calcular e para ver se são iguais.
    Portanto, .

Passo 4

Como todas as condições do Teorema de Rolle são satisfeitas, podemos afirmar que existe pelo menos um valor no intervalo tal que .

Passo 5

Vamos encontrar a derivada de :
Agora, vamos resolver a equação :
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Verificamos que todas as soluções , e estão dentro do intervalo . Portanto, esses são os pontos que satisfazem o Teorema de Rolle para a função dada.

Resposta

Sim, a função satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo . Os valores de que cumprem são:

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Calcule os limites abaixo:
18 a) (Sugestio faça )
Verifique se a função satisfaz o Teorema do Valor Médio (TVM)
(15) no intervalo ? Caso afirmativo, encontre conforme o TVM.
Esboce o gráfico de cada função .
Calcule os limites abaixo:
b)