A funçao
satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo
?
(1.0) Caso afimativo, encontre
conforme o Teorema.
(1.0) Caso afimativo, encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está perguntando se a função
satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo
. O Teorema de Rolle é um conceito de Cálculo que vamos precisar entender para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Rolle. Ele afirma que se uma função
é contínua no intervalo fechado
, diferenciável no intervalo aberto
e que
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada de
é zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar se a função
cumpre essas condições no intervalo
:
-
Continuidade: A função
é um polinômio, e polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Então, é contínua em . -
Diferenciabilidade: Da mesma forma, polinômios são diferenciáveis em todo o seu domínio. Portanto,
é diferenciável em . -
Valores nos extremos do intervalo: Vamos calcular
e para ver se são iguais. Portanto,.
Passo 4
Como todas as condições do Teorema de Rolle são satisfeitas, podemos afirmar que existe pelo menos um valor
no intervalo
tal que
.
Passo 5
Vamos encontrar a derivada de
:
Agora, vamos resolver a equação
:
Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 6
Verificamos que todas as soluções
,
e
estão dentro do intervalo
. Portanto, esses são os pontos
que satisfazem o Teorema de Rolle para a função dada.
Resposta
Sim, a função satisfaz o Teorema de Rolle no intervalo
. Os valores de
que cumprem
são:
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
18 a) (Sugestio faça
)
18 a)
Verifique se a função
satisfaz o Teorema do Valor Médio (TVM)
(15) no intervalo ? Caso afirmativo, encontre
conforme o TVM.
(15) no intervalo
Esboce o gráfico de cada função
.
Calcule os limites abaixo:
b)
b)