Escolha valores para as constantes reais
e
de tal forma que as funções abaixo seja analíticas:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que escolher valores para as constantes reais
e
de forma que a função
seja analítica. Isso toca no conteúdo de funções de variável complexa e, mais especificamente, nas condições de Cauchy-Riemann que garantem a analiticidade de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
na forma padrão
, onde
e
são funções reais de
e
. Então, temos:
Agora, para que a função seja analítica, as condições de Cauchy-Riemann precisam ser satisfeitas. Essas condições dizem que:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
A primeira condição de Cauchy-Riemann fica então:
Que nos dá:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda condição:
A segunda condição de Cauchy-Riemann fica:
Ou seja:
Resposta
Para que a função
seja analítica, os valores das constantes devem satisfazer:
Ou seja, qualquer valor real para
e
que satisfaça
, com
igual a 1, fará a função ser analítica.