Suponha que A, B, C e D são matrizes inversíveis de mesma ordem. Resolva cada equação a seguir, na variável X, simplificando o máximo possível:
(b) A C X B=D; Resp.: X=(A C)^-1 D B^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação matricial . Aqui, , , e são matrizes inversíveis e de mesma ordem. O que precisamos fazer é isolar a variável utilizando propriedades de matrizes inversíveis.

Passo 2

Primeiro, queremos tirar o (A C)^-1 (A C X B) = (A C)^-1 D de frente do I X B = (A C)^-1 D . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de X B = (A C)^-1 D , que é . Lembrando que multiplicar uma matriz pela sua inversa resulta na matriz identidade .
Simplificando o lado esquerdo:
Como é a matriz identidade, isso simplifica para:

Passo 3

Agora, queremos eliminar o X B B^-1 = (A C)^-1 D B^-1 que está multiplicando o X I = (A C)^-1 D B^-1 à direita. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de X = (A C)^-1 D B^-1 , que é .
Novamente, simplificando o lado esquerdo:
Como é a identidade:

Resposta

A solução para X = (A C)^-1 D B^-1 é:

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