(10 Pontos). Utilize os métodos de Erro e Polinômio de Taylor para calcular o valor numérico de e^3 com precisão de 2 casas decimais. E faça uma comparação percentual com o valor padrão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor de usando o Polinômio de Taylor e métodos de erro, garantindo que o resultado tenha 2 casas decimais. Depois, vamos comparar esse valor com o valor padrão de em porcentagem. Para isso, vamos precisar saber sobre séries de Taylor e como estimar os erros nesses cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial pode ser aproximada pela série de Taylor centrada em 0 (também chamada de série de Maclaurin):
Para calcular , vamos substituir .

Passo 3

Vamos calcular os termos da série até termos que garantam uma precisão de 2 casas decimais. Ou seja, vamos somar os termos até que o próximo termo seja menor que 0,005 (para arredondar corretamente).
Calculando os primeiros termos:
Vamos verificar se o próximo termo é menor que 0,005:
éãí
Próximo termo:
Próximo termo:
Próximo termo:
Próximo termo:
Próximo termo:

Passo 4

Agora, somamos todos os termos até que o próximo fosse menor que 0,005:

Passo 5

O valor padrão de é aproximadamente 20,0855. Vamos comparar nosso valor calculado com o padrão:
ç

Resposta

Usando o Polinômio de Taylor, calculamos com um erro de aproximadamente 0,03% em relação ao valor padrão.

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