Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral
é convergente ou divergente. Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente sobre integrais impróprias e comportamento de funções próximas a pontos problemáticos. Vamos precisar entender como a função se comporta perto de
e usar algumas técnicas de comparação para descobrir o que acontece com a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é considerada imprópria. O problema está no limite inferior,
, porque quando
se aproxima de 0,
tende ao infinito, e
também tende ao infinito. Isso significa que precisamos analisar o comportamento da função perto de
para ver se a integral soma a gente algo finito ou se ela “explode”.
Passo 3
Agora, vamos observar a função
. A função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de entrada. Isso é importante porque significa que
nunca será maior que 1 em valor absoluto. Então, podemos dizer que:
Multiplicando todos os lados por
(que é positivo para
), temos:
Isso nos leva a pensar em usar o Teste da Comparação para determinar a convergência da integral.
Passo 4
Vamos comparar nossa integral com a integral de
, que é mais simples:
Sabemos que:
Evaluando de 0 a
:
Isso significa que a integral de
diverge.
Passo 5
Como a nossa função
está limitada entre
e
, e a integral de
diverge, o Teste da Comparação nos diz que a integral original também diverge.
Resposta
A integral
é divergente.
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Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
Determine se é possível atribuir um número finito para repre-
sentar a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é:
sentar a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é:
pelo eixo x e pela reta
. Caso seja possível, determine-o.
Determine se é possível atribuir um número finito para representar a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é:
pelo eixo x e pela reta
. Caso seja possível, determine-o.