Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
integral0^2pi 1x^2 sen(1x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral integral0^2pi 1x^2 sin(1x) dx é convergente ou divergente. Isso envolve um pouco de cálculo, especialmente sobre integrais impróprias e comportamento de funções próximas a pontos problemáticos. Vamos precisar entender como a função se comporta perto de x = 0 e usar algumas técnicas de comparação para descobrir o que acontece com a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é considerada imprópria. O problema está no limite inferior, x = 0, porque quando x se aproxima de 0, 1x tende ao infinito, e 1x^2 também tende ao infinito. Isso significa que precisamos analisar o comportamento da função perto de x = 0 para ver se a integral soma a gente algo finito ou se ela “explode”.

Passo 3

Agora, vamos observar a função sin(1x). A função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de entrada. Isso é importante porque significa que sin(1x) nunca será maior que 1 em valor absoluto. Então, podemos dizer que:
-1 <= sin(1x) <= 1
Multiplicando todos os lados por 1x^2 (que é positivo para x > 0), temos:
-1x^2 <= 1x^2 sin(1x) <= 1x^2
Isso nos leva a pensar em usar o Teste da Comparação para determinar a convergência da integral.

Passo 4

Vamos comparar nossa integral com a integral de 1x^2, que é mais simples:
integral0^2pi 1x^2 dx
Sabemos que:
integral 1x^2 dx = -1x + C
Evaluando de 0 a 2pi:
lima to 0^+ ( -12pi + 1a ) = infty
Isso significa que a integral de 1x^2 diverge.

Passo 5

Como a nossa função 1x^2 sin(1x) está limitada entre -1x^2 e 1x^2, e a integral de 1x^2 diverge, o Teste da Comparação nos diz que a integral original também diverge.

Resposta

A integral integral0^2pi 1x^2 sin(1x) dx é divergente.

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S = {(x, y) | 0 <= y <= 2/(x^2 + 9), x >= 0}
Verifique se as integrais abaixo são convergentes (neste caso, apresente o valor para o qual a integral converge) ou divergentes:
integral1^infty e^-x sen(x) d x
Determine se é possível atribuir um número finito para repre-
sentar a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é:
1/(x^2+1)
pelo eixo x e pela reta x = 2. Caso seja possível, determine-o.
Determine se é possível atribuir um número finito para representar a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é:
1/(e^x + e^(-x))
pelo eixo x e pela reta x = 2. Caso seja possível, determine-o.