Encontre a derivada direcional de
em
na direção do vetor
.
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produto escalar. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, encontrar o vetor gradiente no ponto
e depois fazer o produto escalar com o vetor direção
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Lembre-se que a derivada parcial em relação a
trata
como uma constante, e vice-versa.
A função é:
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
Primeiro, calculamos
em
:
Então:
Portanto, o vetor gradiente no ponto
é:
Passo 4
Agora, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar do vetor gradiente com o vetor direção
:
Resposta
A derivada direcional de
em
na direção de
é
.