Encontre a derivada direcional de f em P na direção do vetor u.
a) f(x, y) = (1 + x * y)^(3/2), P = (3, 1), u = (1/raiz(2), 1/raiz(2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produto escalar. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , encontrar o vetor gradiente no ponto e depois fazer o produto escalar com o vetor direção .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Lembre-se que a derivada parcial em relação a trata como uma constante, e vice-versa.
A função é:
Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Primeiro, calculamos em :
Então:
Portanto, o vetor gradiente no ponto é:

Passo 4

Agora, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar do vetor gradiente com o vetor direção :

Resposta

A derivada direcional de em na direção de é .

Exercícios relacionados