Verifique se as matrizes são diagonalizáveis:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a matriz
-1 & 0 & 1 3 & 0 & -3 1 & 0 & -1 é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes diagonalizáveis e autovalores/autovetores. Precisamos encontrar os autovalores da matriz e, para cada autovalor, verificar se existe um autovetor correspondente. Se conseguirmos encontrar três autovetores linearmente independentes (já que a matriz é 3x3), então a matriz é diagonalizável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
det(B - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
Onde
det(B - lambda I) = (-1 - lambda) cdot ( (-lambda)(-1 - lambda) - (-3)(0) ) - 0 cdot () + 1 cdot ( 3 cdot 0 - (-lambda)(1) ) é a matriz identidade e
= (-1 - lambda)(lambda (1 + lambda)) + lambda representa os autovalores.
Vamos montar
= (-1 - lambda)(lambda + lambda^2) + lambda :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Igualando a zero:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para
Bv = -1 & 0 & 1 3 & 0 & -3 1 & 0 & -1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos
- v1 + v3 = 0 (1) 3v1 - 3v3 = 0 (2) v1 - v3 = 0 (3) :
Isso nos dá o sistema de equações:
Observamos que todas as equações são equivalentes, resultando em:
O
B + 2I = 1 & 0 & 1 3 & 2 & -3 1 & 0 & 1 é livre, então podemos parametrizar os autovetores como:
Para obter uma base, podemos escolher
v1 = -v3 e
3(-v3) + 2v2 - 3v3 = 0 Rightarrow -3v3 + 2v2 - 3v3 = 0 Rightarrow 2v2 = 6v3 Rightarrow v2 = 3v3 :
Então, para
v3 = -1 3 1 , temos dois autovetores linearmente independentes.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Parametrizando com
:
Então, para
, temos um autovetor:
Passo 4
Agora, vamos verificar se temos três autovetores linearmente independentes:
-
Para
:1 0 1 e0 1 0 -1 3 1 -
Para
:V = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 3 1 & 0 & 1 det(V) = 1 cdot (1 cdot 1 - 3 cdot 0) - 0 cdot (dots) + (-1) cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) = 1 cdot 1 - 0 + (-1)(-1) = 1 + 1 = 2 neq 0
Podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Vamos calcular o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Sim, a matriz
é diagonalizável, pois possui três autovetores linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Dado o sistema
Agora, resolva efetivamente o sistema.
Dadas as matrizes
A=(ll2 & 3 0 & 1), B=(ll0 & 4 3 & 2) e
C=(cc15 & 14 0 & 18) , calcule:
© a matrizX tal que
3(X-A)+2 B=4(X-A+2 C) .
© a matriz
Sendo
A=(ccc-1 & 2 & 3 0 & 1 & 0 2 & 1 & 1) e
B=-2 A , determine a matriz
X tal que
2 X-3 A=12 B .
Considere a seguinte matriz de mudança da base
beta para a base
beta^prime de
R^3
seja
v in R^3 tal que
determine as coordenadas de
v com relação a
beta .