Verifique se as matrizes são diagonalizáveis:
b) B=(ccc-1 & 0 & 1 3 & 0 & -3 1 & 0 & -1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a matriz -1 & 0 & 1 3 & 0 & -3 1 & 0 & -1 é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes diagonalizáveis e autovalores/autovetores. Precisamos encontrar os autovalores da matriz e, para cada autovalor, verificar se existe um autovetor correspondente. Se conseguirmos encontrar três autovetores linearmente independentes (já que a matriz é 3x3), então a matriz é diagonalizável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(B - lambda I) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica:
B - lambda I = -1 - lambda & 0 & 1 3 & -lambda & -3 1 & 0 & -1 - lambda
Onde det(B - lambda I) = (-1 - lambda) cdot ( (-lambda)(-1 - lambda) - (-3)(0) ) - 0 cdot () + 1 cdot ( 3 cdot 0 - (-lambda)(1) ) é a matriz identidade e = (-1 - lambda)(lambda (1 + lambda)) + lambda representa os autovalores.
Vamos montar = (-1 - lambda)(lambda + lambda^2) + lambda :
= -lambda - lambda^2 - lambda^2 - lambda^3 + lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
= -2lambda^2 - lambda^3
Simplificando:
= -lambda^3 - 2lambda^2
-lambda^3 - 2lambda^2 = 0
lambda^2 (lambda + 2) = 0
lambda = 0 (com mu
Igualando a zero:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para Bv = -1 & 0 & 1 3 & 0 & -3 1 & 0 & -1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos - v1 + v3 = 0 (1) 3v1 - 3v3 = 0 (2) v1 - v3 = 0 (3) :
v1 = v3
Isso nos dá o sistema de equações:
v = t s t
Observamos que todas as equações são equivalentes, resultando em:
v1 = 1 0 1 , v2 = 0 1 0
O B + 2I = 1 & 0 & 1 3 & 2 & -3 1 & 0 & 1 é livre, então podemos parametrizar os autovetores como:
v1 + v3 = 0 (1) 3v1 + 2v2 - 3v3 = 0 (2) v1 + v3 = 0 (3)
Para obter uma base, podemos escolher v1 = -v3 e 3(-v3) + 2v2 - 3v3 = 0 Rightarrow -3v3 + 2v2 - 3v3 = 0 Rightarrow 2v2 = 6v3 Rightarrow v2 = 3v3 :
v = -t 3t t = t -1 3 1
Então, para v3 = -1 3 1 , temos dois autovetores linearmente independentes.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Parametrizando com :
Então, para , temos um autovetor:

Passo 4

Agora, vamos verificar se temos três autovetores linearmente independentes:
  • Para 1 0 1 : 0 1 0 e -1 3 1
  • Para V = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 3 1 & 0 & 1 : det(V) = 1 cdot (1 cdot 1 - 3 cdot 0) - 0 cdot (dots) + (-1) cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) = 1 cdot 1 - 0 + (-1)(-1) = 1 + 1 = 2 neq 0
Podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim, a matriz é diagonalizável, pois possui três autovetores linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Dado o sistema
c x+2 y-w=2 x+2 z-w=2 x+2 y+2 z-w=4 3 x+4 y+4 z-3 w=8
Agora, resolva efetivamente o sistema.
Dadas as matrizes A=(ll2 & 3 0 & 1), B=(ll0 & 4 3 & 2) e C=(cc15 & 14 0 & 18), calcule:
© a matriz X tal que 3(X-A)+2 B=4(X-A+2 C).
Sendo A=(ccc-1 & 2 & 3 0 & 1 & 0 2 & 1 & 1) e B=-2 A, determine a matriz X tal que 2 X-3 A=12 B.
Considere a seguinte matriz de mudança da base beta para a base beta^prime de R^3
Ibeta^prime^beta=(ccc 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1 )
seja v in R^3 tal que
vbeta^prime=(l 2 0 4 )
determine as coordenadas de v com relação a beta.