Considere a seguinte matriz de mudança da base para a base de
seja v in R^3 tal que
vbeta^prime=(l 2 0 4 )
determine as coordenadas de v com relação a beta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as coordenadas de um vetor 2 0 4 na base Ibeta^prime^beta = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1 , sabendo que ele está representado na base pelas coordenadas . A matriz que faz a mudança de base de para é:
Vamos usar conceitos de mudança de base e transformação de coordenadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a matriz é a matriz de mudança de base que transforma coordenadas da base para a base . Mas a gente quer o contrário: transformar de para .
Para isso, vamos precisar da matriz inversa de , que chamaremos de . Essa inversa vai nos permitir voltar de para .
Passo 3
Vamos calcular a inversa de Ibeta^prime^beta = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1 . A matriz dada é:
Aplicando operações elementares para transformar o lado esquerdo em identidade, o lado direito se tornará a inversa .
Após os cálculos, a inversa fica:
Passo 4
Agora que temos a matriz inversa, podemos usar ela para encontrar as coordenadas de vbeta = [Ibeta^prime^beta]^-1 cdot vbeta' na base vbeta = 0 & 0 & 12 1 & -1 & 12 1 & 1 & 12 cdot 2 0 4 . A relação entre as coordenadas é: