Verifique que uma onda harmônica se propagando para a esquerda, com y(x, t)=A sin (k x+omega t), satisfaz a equação de onda
partial^2 y(x, t)partial x^2=1v^2 partial^2 y(x, t)partial t^2
Em seguida mostre que qualquer função de onda geral do tipo y(x, t)= g(x^prime)=g(x+v t) também é solução dessa equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas! A gente precisa mostrar duas coisas aqui: primeiro, que a onda harmônica que se propaga para a esquerda satisfaz a equação de onda dada. Depois, que qualquer função de onda do tipo também é uma solução dessa equação. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e a própria definição da equação de onda para isso.

Passo 2

Vamos começar verificando a primeira parte: se a onda harmônica partial^2 ypartial x^2 = 1v^2 partial^2 ypartial t^2 satisfaz a equação de onda
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a e .

Passo 3

Calculando a segunda derivada de partial ypartial x = A k cos(kx + omega t) em relação a partial^2 ypartial x^2 = -A k^2 sin(kx + omega t) :

Passo 4

Agora, calculando a segunda derivada de partial ypartial t = A omega cos(kx + omega t) em relação a partial^2 ypartial t^2 = -A omega^2 sin(kx + omega t) :

Passo 5

Substituindo as derivadas na equação de onda:
-A k^2 sin(kx + omega t) = 1v^2 (-A omega^2 sin(kx + omega t))
Podemos simplificar os sinais negativos e os termos comuns k^2 = omega^2v^2 , ficando:
Isso nos mostra que a condição é satisfeita se , que é justamente a relação entre a frequência angular, a velocidade da onda e o número de onda.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que qualquer função de onda geral do tipo é solução da equação de onda. Aqui, é uma função qualquer que depende de .

Passo 7

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Seja partial ypartial x = g'(xi) cdot partial xipartial x = g'(xi) , então partial^2 ypartial x^2 = g''(xi) .
A primeira derivada em relação a :
E a segunda derivada:

Passo 8

Agora, a primeira derivada em relação a partial ypartial t = g'(xi) cdot partial xipartial t = g'(xi) cdot v :
partial^2 ypartial t^2 = g''(xi) cdot v^2
E a segunda derivada:

Passo 9

Substituindo essas derivadas na equação de onda:
g''(xi) = 1v^2 cdot g''(xi) cdot v^2
Simplificando:
g''(xi) = g''(xi)
O que é sempre verdadeiro, mostrando que qualquer função da forma satisfaz a equação de onda.

Resposta

Assim, demonstramos que tanto a onda harmônica quanto qualquer função de onda geral satisfazem a equação de onda dada.

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