Verifique que uma onda harmônica se propagando para a esquerda, com
, satisfaz a equação de onda
Em seguida mostre que qualquer função de onda geral do tipo
também é solução dessa equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas! A gente precisa mostrar duas coisas aqui: primeiro, que a onda harmônica
que se propaga para a esquerda satisfaz a equação de onda dada. Depois, que qualquer função de onda do tipo
também é uma solução dessa equação. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e a própria definição da equação de onda para isso.
Passo 2
Vamos começar verificando a primeira parte: se a onda harmônica
satisfaz a equação de onda
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculando a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo as derivadas na equação de onda:
Podemos simplificar os sinais negativos e os termos comuns
, ficando:
Isso nos mostra que a condição é satisfeita se
, que é justamente a relação entre a frequência angular, a velocidade da onda e o número de onda.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que qualquer função de onda geral do tipo
é solução da equação de onda. Aqui,
é uma função qualquer que depende de
.
Passo 7
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Seja
, então
.
A primeira derivada em relação a
:
E a segunda derivada:
Passo 8
Agora, a primeira derivada em relação a
:
E a segunda derivada:
Passo 9
Substituindo essas derivadas na equação de onda:
Simplificando:
O que é sempre verdadeiro, mostrando que qualquer função da forma
satisfaz a equação de onda.
Resposta
Assim, demonstramos que tanto a onda harmônica
quanto qualquer função de onda geral
satisfazem a equação de onda dada.