Verifique que uma onda harmônica se propagando para a esquerda, com , satisfaz a equação de onda
Em seguida mostre que qualquer função de onda geral do tipo também é solução dessa equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas! A gente precisa mostrar duas coisas aqui: primeiro, que a onda harmônica que se propaga para a esquerda satisfaz a equação de onda dada. Depois, que qualquer função de onda do tipo também é uma solução dessa equação. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e a própria definição da equação de onda para isso.

Passo 2

Vamos começar verificando a primeira parte: se a onda harmônica satisfaz a equação de onda
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a e .

Passo 3

Calculando a segunda derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, calculando a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo as derivadas na equação de onda:
Podemos simplificar os sinais negativos e os termos comuns , ficando:
Isso nos mostra que a condição é satisfeita se , que é justamente a relação entre a frequência angular, a velocidade da onda e o número de onda.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que qualquer função de onda geral do tipo é solução da equação de onda. Aqui, é uma função qualquer que depende de .

Passo 7

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Seja , então .
A primeira derivada em relação a :
E a segunda derivada:

Passo 8

Agora, a primeira derivada em relação a :
E a segunda derivada:

Passo 9

Substituindo essas derivadas na equação de onda:
Simplificando:
O que é sempre verdadeiro, mostrando que qualquer função da forma satisfaz a equação de onda.

Resposta

Assim, demonstramos que tanto a onda harmônica quanto qualquer função de onda geral satisfazem a equação de onda dada.

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