Cabo coaxial. Um cabo coaxial longo é formado por dois condutores cilíndricos de paredes finas e raios a e b. O condutor interno A é percorrido por uma corrente constante i e o condutor externo B é percorrido pela corrente de retorno. (a) Calcule a energia armazenada no campo magnético entre os condutores em um trecho 1 do cabo. (b) Qual é a energia armazenada por unidade de comprimento do cabo se a=1,2 mm, b=3,5 mm e i= 2,7 A ?
Resp:
(a) (mu0 i^2 l / 4 pi) ln (b / a);
(b) 780 nJ / m

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cabo coaxial, que é basicamente dois cabos cilíndricos um dentro do outro. O interno tem raio e o externo tem raio . Tem uma corrente passando no condutor interno e uma corrente de retorno no externo. A gente precisa calcular a energia armazenada no campo magnético entre esses condutores.
Vamos precisar usar conceitos de campo magnético em cabos coaxiais e a energia armazenada no campo magnético. Para isso, vamos precisar das fórmulas do campo magnético gerado por correntes em condutores cilíndricos e da expressão para a energia armazenada no campo magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo magnético entre os dois condutores. Para isso, usamos a Lei de Ampère, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por correntes elétricas.
Em um cabo coaxial, o campo magnético fora do condutor interno B(r) = mu0 i2pi r e dentro do condutor externo pode ser encontrado aplicando a Lei de Ampère a um caminho circular de raio onde .
A fórmula do campo magnético em um ponto a uma distância do eixo é:
Aqui, é a permeabilidade magnética do vácuo, é a corrente no condutor interno, e é a distância do eixo.

Passo 3

Agora que temos o campo magnético W = 12mu0 integralV B^2 , dV , vamos calcular a energia armazenada no campo magnético. A energia total armazenada no campo magnético em um volume W = 12mu0 integral0^2pi integrala^b (mu0 i2pi r)^2 r , dr , dtheta cdot l é dada por:
Como estamos lidando com um trecho de comprimento do cabo, e o campo magnético só existe na região entre e , podemos ajustar a integral para coordenadas cilíndricas:

Passo 4

Vamos simplificar essa integral passo a passo. Primeiro, substituímos W = 12mu0 cdot (mu0 i2pi)^2 cdot l integral0^2pi dtheta integrala^b 1r , dr na expressão:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Integrando em integrala^b 1r , dr = ln(ba) :
E integrando em :

Passo 5

Substituindo as integrais resolvidas na expressão da energia:
W = 12mu0 cdot (mu0 i2pi)^2 cdot l cdot 2pi cdot ln(ba)
Simplificando os termos:
W = mu0 i^2 l4pi ln(ba)

Resposta

(a) A energia armazenada no campo magnético entre os condutores em um trecho W = mu0 i^2 l4 pi ln (ba) do cabo é:
Wpor unidade = 780 , nJ/m
(b) Considerando , e , a energia armazenada por unidade de comprimento do cabo é:

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