Verifique que
.
Passo 1
Vamos analisar o que a questão pede. Precisamos verificar se as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
são iguais, ou seja, se
. A função dada é
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Aqui, usamos a regra da potência e a derivada da função exponencial.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para obter
:
Aqui, derivamos
em relação a
, que dá
, e derivamos
em relação a
, que dá
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui, usamos novamente a regra da potência e a derivada da função exponencial.
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Derivando
em relação a
, obtemos
, e derivando
em relação a
, obtemos
.
Resposta
Concluímos que
. Portanto, as derivadas parciais de segunda ordem mistas são iguais.
Exercícios relacionados
Verifique que
.
Verifique que
.
Encontre
diferenciando implicitamente:
Verifique que
.