Verifique que partial^2 wpartial x partial y=partial^2 wpartial y partial x. w=y^2 e^x^2+1x^2 y^3

Passo 1

Vamos analisar o que a questão pede. Precisamos verificar se as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e são iguais, ou seja, se . A função dada é . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial wpartial y = 2y e^x^2 - 3x^2 y^4 em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a :
Aqui, usamos a regra da potência e a derivada da função exponencial.

Passo 3

Agora, vamos derivar partial^2 wpartial x partial y = 2y cdot 2x e^x^2 - 0x^2 y^4 = 4xy e^x^2 + 6x^3 y^4 em relação a para obter :
Aqui, derivamos em relação a , que dá , e derivamos em relação a , que dá .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial x = y^2 cdot 2x e^x^2 - 2x^3 y^3 em relação a :
Aqui, usamos novamente a regra da potência e a derivada da função exponencial.

Passo 5

Em seguida, derivamos partial^2 wpartial y partial x = 2y cdot 2x e^x^2 - 0x^3 y^3 = 4xy e^x^2 + 6x^3 y^4 em relação a para encontrar :
Derivando em relação a , obtemos , e derivando em relação a , obtemos .

Resposta

Concluímos que . Portanto, as derivadas parciais de segunda ordem mistas são iguais.

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