Verifique que partial^2 wpartial x partial y=partial^2 wpartial y partial x. w=x^3 e^-2 y+y^-2 cos x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma função e precisamos verificar se as segundas derivadas parciais mistas são iguais, ou seja, se . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a propriedade de que, se a função for suave o suficiente, as ordens das derivadas não interferem no resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial x = partialpartial x ( x^3 e^-2 y ) + partialpartial x ( y^-2 cos x ) em relação a = 3x^2 e^-2 y - y^-2 sin x . Lembre-se que, ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.

Passo 3

Agora, vamos derivar essa expressão em relação a partial^2 wpartial y partial x = partialpartial y ( 3x^2 e^-2 y - y^-2 sin x ) para encontrar = 3x^2 cdot (-2) e^-2 y - (-2) y^-3 sin x .
= -6x^2 e^-2 y + 2 y^-3 sin x

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial y = partialpartial y ( x^3 e^-2 y ) + partialpartial y ( y^-2 cos x ) em relação a = x^3 cdot (-2) e^-2 y - 2 y^-3 cos x .
= -2x^3 e^-2 y - 2 y^-3 cos x

Passo 5

Agora, vamos derivar essa expressão em relação a partial^2 wpartial x partial y = partialpartial x ( -2x^3 e^-2 y - 2 y^-3 cos x ) para encontrar = -2 cdot 3x^2 e^-2 y - 2 y^-3 cdot (-sin x) .
= -6x^2 e^-2 y + 2 y^-3 sin x

Resposta

Como vimos, . Portanto, as segundas derivadas parciais mistas são iguais.

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