Verifique que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma função
e precisamos verificar se as segundas derivadas parciais mistas são iguais, ou seja, se
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a propriedade de que, se a função for suave o suficiente, as ordens das derivadas não interferem no resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que, ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Passo 3
Agora, vamos derivar essa expressão em relação a
para encontrar
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 5
Agora, vamos derivar essa expressão em relação a
para encontrar
.
Resposta
Como vimos,
. Portanto, as segundas derivadas parciais mistas são iguais.