Verifique que .

Passo 1

Beleza, vamos verificar se as segundas derivadas parciais mistas de em relação a e são iguais. Isso envolve calcular e e ver se são iguais. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Como , e é tratado como uma constante em relação a , a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . Precisamos derivar em relação a . Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função hiperbólica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Temos:
Usando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . A derivada de em relação a é:

Resposta

Concluímos que . Portanto, as segundas derivadas parciais mistas são iguais.

Exercícios relacionados

Encontre diferenciando implicitamente:
Verifique que .
Verifique que .
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função .