Verifique que partial^2 wpartial x partial y=partial^2 wpartial y partial x. w=x^2 cdot cosh zy

Passo 1

Beleza, vamos verificar se as segundas derivadas parciais mistas de em relação a e são iguais. Isso envolve calcular e e ver se são iguais. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial wpartial x = 2x cdot cosh ( zy ) em relação a . Como , e é tratado como uma constante em relação a , a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar partial^2 wpartial x partial y = 2x cdot sinh ( zy ) cdot ( -zy^2 ) = -2x cdot zy^2 cdot sinh ( zy ) em relação a para encontrar . Precisamos derivar em relação a . Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função hiperbólica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial wpartial y = x^2 cdot ddy ( cosh ( zy ) ) em relação a partial wpartial y = x^2 cdot sinh ( zy ) cdot ( -zy^2 ) = -x^2 cdot zy^2 cdot sinh ( zy ) . Temos:
Usando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos derivar partial^2 wpartial y partial x = -2x cdot zy^2 cdot sinh ( zy ) em relação a para encontrar . A derivada de em relação a é:

Resposta

Concluímos que . Portanto, as segundas derivadas parciais mistas são iguais.

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