Verifique que
.
Passo 1
Beleza, vamos verificar se as segundas derivadas parciais mistas de
em relação a
e
são iguais. Isso envolve calcular
e
e ver se são iguais. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Como
, e
é tratado como uma constante em relação a
, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Precisamos derivar
em relação a
. Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função hiperbólica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Temos:
Usando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. A derivada de
em relação a
é:
Resposta
Concluímos que
. Portanto, as segundas derivadas parciais mistas são iguais.
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Encontre
diferenciando implicitamente:
Verifique que
.
Verifique que
.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
.