Verifique que partial^2 wpartial x partial y=partial^2 wpartial y partial x. w=x^2x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se as derivadas parciais mistas de são iguais, ou seja, verificar se . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra do quociente na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial wpartial x = v cdot partial upartial x - u cdot partial vpartial xv^2 em relação a partial upartial x = 2x e partial vpartial x = 1 , ou seja, partial wpartial x = (x + y) cdot 2x - x^2 cdot 1(x + y)^2 = 2x(x + y) - x^2(x + y)^2 = x^2 + 2xy(x + y)^2 .
Usando a regra do quociente, onde se , então:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial mista partial wpartial x = x^2 + 2xy(x + y)^2 . Isso significa que vamos derivar partial^2 wpartial x partial y = (x + y)^2 cdot 2x - (x^2 + 2xy) cdot 2(x + y)(x + y)^4 em relação a 2x(x + y)^2 - 2(x^2 + 2xy)(x + y) = 2x(x^2 + 2xy + y^2) - 2(x^3 + 3x^2y + 2xy^2) = -2x^2y - 2xy^2 .
Temos:
partial^2 wpartial x partial y = -2xy(x + y)(x + y)^4 = -2xy(x + y)^3
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 4

Vamos repetir o processo, agora encontrando w = x^2x + y Rightarrow partial wpartial y = 0 cdot (x + y) - x^2 cdot 1(x + y)^2 = -x^2(x + y)^2 e, em seguida, derivando em relação a partial^2 wpartial y partial x = (x + y)^2 cdot (-2x) - (-x^2) cdot 2(x + y)(x + y)^4 = -2x(x + y)^2 + 2x^2(x + y)(x + y)^4 = -2xy(x + y)(x + y)^4 = -2xy(x + y)^3 para obter .
Primeiro:
Agora, derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais mistas são iguais e valem .

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