Verifique que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se as derivadas parciais mistas de
são iguais, ou seja, verificar se
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra do quociente na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando a regra do quociente, onde se
, então:
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial mista
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
.
Temos:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando o numerador:
Portanto:
Passo 4
Vamos repetir o processo, agora encontrando
e, em seguida, derivando em relação a
para obter
.
Primeiro:
Agora, derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais mistas são iguais e valem
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
Encontre
diferenciando implicitamente:
Verifique que
.
Verifique que
.