Verifique que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se as derivadas parciais mistas de são iguais, ou seja, verificar se . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra do quociente na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando a regra do quociente, onde se , então:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial mista . Isso significa que vamos derivar em relação a .
Temos:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando o numerador:
Portanto:

Passo 4

Vamos repetir o processo, agora encontrando e, em seguida, derivando em relação a para obter .
Primeiro:
Agora, derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais mistas são iguais e valem .

Exercícios relacionados

Determine a derivada das seguintes funções (Regra da Cadeia):
Encontre diferenciando implicitamente:
Verifique que .
Verifique que .