Verifique que partial^2 wpartial x partial y=partial^2 wpartial y partial x. w=raizx^2+y^2+z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar que as segundas derivadas parciais mistas de são iguais, ou seja, . Aqui, é definido como . Para isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e a regra de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial wpartial x = 12(x^2 + y^2 + z^2)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 + y^2 + z^2 em relação a . Usamos a regra da cadeia para derivar :

Passo 3

Agora, vamos derivar essa expressão resultante em relação a partial^2 wpartial x partial y = partialpartial y ( xraizx^2 + y^2 + z^2 ) para encontrar = x cdot ( -12 ) (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 cdot 2y = -xy(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 . Aplicamos a regra do quociente:
Usando a regra da cadeia novamente:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial wpartial y = yraizx^2 + y^2 + z^2 em relação a partial^2 wpartial y partial x = partialpartial x ( yraizx^2 + y^2 + z^2 ) :
= y cdot ( -12 ) (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 cdot 2x = -xy(x^2 + y^2 + z^2)^3/2
Em seguida, derivamos essa expressão em relação a para encontrar :
Aplicando a regra da cadeia novamente:

Resposta

Assim, verificamos que , confirmando que as derivadas parciais mistas são iguais.

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