Verifique que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar que as segundas derivadas parciais mistas de
são iguais, ou seja,
. Aqui,
é definido como
. Para isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e a regra de diferenciação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia para derivar
:
Passo 3
Agora, vamos derivar essa expressão resultante em relação a
para encontrar
. Aplicamos a regra do quociente:
Usando a regra da cadeia novamente:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Em seguida, derivamos essa expressão em relação a
para encontrar
:
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Resposta
Assim, verificamos que
, confirmando que as derivadas parciais mistas são iguais.
Exercícios relacionados
Verifique que
.
Encontre
diferenciando implicitamente:
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
.
Uma lata de refrigerante de determinada marca, com formato cilíndrico, tem capacidade de 350 mL . 0 preço do material usado para construir o fundo e a tampa da lata é
por centímetro quadrado, e para 0 lado é
por centímetros quadrados. Qual deve ser a altura e 0 raio da lata para que 0 custo da matéria-prima seja menor possível?