Verifique que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar que as segundas derivadas parciais mistas de são iguais, ou seja, . Aqui, é definido como . Para isso, vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e a regra de diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . Usamos a regra da cadeia para derivar :

Passo 3

Agora, vamos derivar essa expressão resultante em relação a para encontrar . Aplicamos a regra do quociente:
Usando a regra da cadeia novamente:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a :
Em seguida, derivamos essa expressão em relação a para encontrar :
Aplicando a regra da cadeia novamente:

Resposta

Assim, verificamos que , confirmando que as derivadas parciais mistas são iguais.

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Verifique que .
Encontre diferenciando implicitamente:
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função .
Uma lata de refrigerante de determinada marca, com formato cilíndrico, tem capacidade de 350 mL . 0 preço do material usado para construir o fundo e a tampa da lata é por centímetro quadrado, e para 0 lado é por centímetros quadrados. Qual deve ser a altura e 0 raio da lata para que 0 custo da matéria-prima seja menor possível?