Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função .

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa descobrir em quais intervalos essa função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a entender como uma função se comporta, ou seja, se está aumentando ou diminuindo em certos intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, nos mostra a inclinação da curva em cada ponto. Para derivar, usamos as regras básicas de derivação:
Calculando cada termo:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada é um polinômio, então sempre existe, e vamos resolver:
Podemos fatorar:
Isso nos dá:
Resolvendo:
E para a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Agora, vamos analisar os intervalos definidos por esses pontos críticos para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Vamos dividir a linha dos números em quatro intervalos:
Escolhemos um número teste em cada intervalo e calculamos o sinal da derivada :
  1. Intervalo : Vamos escolher
Como a derivada é negativa, a função está decrescendo nesse intervalo.
  1. Intervalo : Vamos escolher
A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
  1. Intervalo : Vamos escolher
A derivada é negativa, então a função está decrescendo nesse intervalo.
  1. Intervalo : Vamos escolher
A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.

Resposta

A função está:
  • Decrescendo nos intervalos e .
  • Crescendo nos intervalos e .

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