Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
.
Passo 1
Então, a gente tem a função
e precisa descobrir em quais intervalos essa função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que é uma ferramenta do cálculo que nos ajuda a entender como uma função se comporta, ou seja, se está aumentando ou diminuindo em certos intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, nos mostra a inclinação da curva em cada ponto. Para derivar, usamos as regras básicas de derivação:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é igual a zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada é um polinômio, então sempre existe, e vamos resolver:
Podemos fatorar:
Isso nos dá:
Resolvendo:
E para a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar os intervalos definidos por esses pontos críticos para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Vamos dividir a linha dos números em quatro intervalos:
Escolhemos um número teste em cada intervalo e calculamos o sinal da derivada
:
- Intervalo
: Vamos escolher
Como a derivada é negativa, a função está decrescendo nesse intervalo.
- Intervalo
: Vamos escolher
A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
- Intervalo
: Vamos escolher
A derivada é negativa, então a função está decrescendo nesse intervalo.
- Intervalo
: Vamos escolher
A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
Resposta
A função
está:
- Decrescendo nos intervalos
e . - Crescendo nos intervalos
e .
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Verifique que
.
Verifique que
.
Uma lata de refrigerante de determinada marca, com formato cilíndrico, tem capacidade de 350 mL . 0 preço do material usado para construir o fundo e a tampa da lata é
por centímetro quadrado, e para 0 lado é
por centímetros quadrados. Qual deve ser a altura e 0 raio da lata para que 0 custo da matéria-prima seja menor possível?
Para cada
, seja
. Considere a função
dada por