Uma lata de refrigerante de determinada marca, com formato cilíndrico, tem capacidade de 350 mL . 0 preço do material usado para construir o fundo e a tampa da lata é por centímetro quadrado, e para 0 lado é por centímetros quadrados. Qual deve ser a altura e 0 raio da lata para que 0 custo da matéria-prima seja menor possível?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão sobre otimização de custo na construção de uma lata cilíndrica. O enunciado nos dá a capacidade da lata (350 mL) e os custos dos materiais para o fundo, a tampa e as laterais. Vamos precisar usar geometria (para calcular as áreas) e um pouco de cálculo para encontrar a altura e o raio que minimizam o custo total. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacidade da lata é o volume do cilindro. A fórmula do volume de um cilindro é:
Onde:
  • é o raio da base
  • é a altura
Sabemos que mL, mas como estamos trabalhando com centímetros, vamos considerar cm³.

Passo 3

Agora, queremos minimizar o custo dos materiais. O custo total é a soma do custo das duas bases (fundo e tampa) e do custo das laterais.
A área de uma base é , então duas bases têm área . O custo por cm² das bases é R$0,03, então o custo das bases é:
A área lateral de um cilindro é , e o custo por cm² das laterais é R$0,02. Então, o custo das laterais é:

Passo 4

Agora, somando os custos das bases e das laterais, temos o custo total:
Simplificando:

Passo 5

Como queremos minimizar e sabemos que cm³, podemos expressar em termos de :

Passo 6

Substituindo na equação do custo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Igualando a zero:

Passo 8

Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Isolando :
Então:

Passo 9

Agora que temos , vamos encontrar usando a equação do volume:
Substituindo cm:

Resposta

Para que o custo da matéria-prima seja menor possível, a lata deve ter aproximadamente raio de 3,37 cm e altura de 9,8 cm.

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