Uma lata de refrigerante de determinada marca, com formato cilíndrico, tem capacidade de 350 mL . 0 preço do material usado para construir o fundo e a tampa da lata é
por centímetro quadrado, e para 0 lado é
por centímetros quadrados. Qual deve ser a altura e 0 raio da lata para que 0 custo da matéria-prima seja menor possível?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão sobre otimização de custo na construção de uma lata cilíndrica. O enunciado nos dá a capacidade da lata (350 mL) e os custos dos materiais para o fundo, a tampa e as laterais. Vamos precisar usar geometria (para calcular as áreas) e um pouco de cálculo para encontrar a altura e o raio que minimizam o custo total. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacidade da lata é o volume do cilindro. A fórmula do volume
de um cilindro é:
Onde:
-
é o raio da base -
é a altura
Sabemos que
mL, mas como estamos trabalhando com centímetros, vamos considerar
cm³.
Passo 3
Agora, queremos minimizar o custo dos materiais. O custo total
é a soma do custo das duas bases (fundo e tampa) e do custo das laterais.
A área de uma base é
, então duas bases têm área
. O custo por cm² das bases é R$0,03, então o custo das bases é:
A área lateral de um cilindro é
, e o custo por cm² das laterais é R$0,02. Então, o custo das laterais é:
Passo 4
Agora, somando os custos das bases e das laterais, temos o custo total:
Simplificando:
Passo 5
Como queremos minimizar
e sabemos que
cm³, podemos expressar
em termos de
:
Passo 6
Substituindo
na equação do custo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 8
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Então:
Passo 9
Agora que temos
, vamos encontrar
usando a equação do volume:
Substituindo
cm:
Resposta
Para que o custo da matéria-prima seja menor possível, a lata deve ter aproximadamente raio de 3,37 cm e altura de 9,8 cm.
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Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função
.
Verifique que
.
Para cada
, seja
. Considere a função
dada por
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.