Verifique se nos seguintes casos (explique por que):
a)
b)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Em cada um dos casos a) e b), temos duas equações de planos, e . Nosso objetivo é verificar se esses dois planos são iguais, ou seja, se representam o mesmo plano no espaço tridimensional. Para isso, vamos analisar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em cada equação para ver se as equações são múltiplos exatos uma da outra.

Passo 2

Caso a):
Primeiro, vamos comparar os coeficientes das variáveis nas duas equações:
  • O coeficiente de em é , que é vezes o coeficiente de em ( ).
  • O coeficiente de em é , que é vezes o coeficiente de em ( ).
  • O coeficiente de em é , que é vezes o coeficiente de em ( ).
Até aqui, parece que é simplesmente vezes . No entanto, precisamos verificar o termo constante:
  • O termo constante em é . Multiplicando por , deveria ser .
  • Na equação de , o termo constante é , que não é vezes .
Como o termo constante não segue a mesma proporção dos coeficientes das variáveis, isso significa que os planos não são iguais. Eles são paralelos porque os coeficientes das variáveis são proporcionais, mas não coincidentes.

Passo 3

Caso b):
Vamos multiplicar toda a equação de por para ver se obtemos a equação de :
Multiplicando por :
Simplificando:
Observamos que essa é exatamente a equação de . Isso mostra que é um múltiplo exato de , ou seja, as duas equações representam o mesmo plano no espaço tridimensional.

Resposta

a) Não, os planos e não são iguais, pois os coeficientes das variáveis são proporcionais, mas o termo constante não segue a mesma proporção.
b) Sim, os planos e são iguais, pois é um múltiplo exato de .

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b) r: s:
c) s:
d) r: \left{ \quad\right.$ s: \left{ \right.$