Verifique se pi1=pi2 nos seguintes casos (explique por que):
a) pi1: x-3 y+2 z+1=0, pi2: 2 x-6 y+4 z+1=0
b) pi1: x-y2+2 z-1=0, pi2:-2 x+y-4 z+2=0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Em cada um dos casos a) e b), temos duas equações de planos, pi1 e pi2. Nosso objetivo é verificar se esses dois planos são iguais, ou seja, se representam o mesmo plano no espaço tridimensional. Para isso, vamos analisar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em cada equação para ver se as equações são múltiplos exatos uma da outra.

Passo 2

Caso a):
pi1: x - 3 y + 2 z + 1 = 0
pi2: 2 x - 6 y + 4 z + 1 = 0
Primeiro, vamos comparar os coeficientes das variáveis nas duas equações:
  • O coeficiente de x em pi2 é 2, que é 2 vezes o coeficiente de x em pi1 ( 2 = 2 times 1).
  • O coeficiente de y em pi2 é -6, que é 2 vezes o coeficiente de y em pi1 ( -6 = 2 times (-3)).
  • O coeficiente de z em pi2 é 4, que é 2 vezes o coeficiente de z em pi1 ( 4 = 2 times 2).
Até aqui, parece que pi2 é simplesmente 2 vezes pi1. No entanto, precisamos verificar o termo constante:
  • O termo constante em pi1 é +1. Multiplicando por 2, deveria ser +2.
  • Na equação de pi2, o termo constante é +1, que não é 2 vezes +1.
Como o termo constante não segue a mesma proporção dos coeficientes das variáveis, isso significa que os planos não são iguais. Eles são paralelos porque os coeficientes das variáveis são proporcionais, mas não coincidentes.

Passo 3

Caso b):
pi1: x - y2 + 2 z - 1 = 0
pi2: -2 x + y - 4 z + 2 = 0
Vamos multiplicar toda a equação de pi1 por -2 para ver se obtemos a equação de pi2:
Multiplicando pi1 por -2:
-2(x) + (-2)(-y2) + (-2)(2 z) + (-2)(-1) = 0
Simplificando:
-2x + y - 4z + 2 = 0
Observamos que essa é exatamente a equação de pi2. Isso mostra que pi2 é um múltiplo exato de pi1, ou seja, as duas equações representam o mesmo plano no espaço tridimensional.

Resposta

a) Não, os planos pi1 e pi2 não são iguais, pois os coeficientes das variáveis são proporcionais, mas o termo constante não segue a mesma proporção.
b) Sim, os planos pi1 e pi2 são iguais, pois pi2 é um múltiplo exato de pi1.

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