O conjunto é ou em ? O que se pode afirmar a respeito de qualquer um de seus subconjuntos com três elementos?

Passo 1

Vamos analisar o conjunto no espaço de polinômios . Nosso objetivo é determinar se esse conjunto é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso, vamos precisar entender conceitos de combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, recordemos que um conjunto de vetores (ou funções, como polinômios) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Caso contrário, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Vamos considerar uma combinação linear dos elementos do conjunto igual a zero:
Isso deve ser válido para todo , então vamos expandir e agrupar os termos semelhantes.

Passo 4

Expandindo a expressão:
Agrupando os termos:

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. De , temos .
  3. De , temos .
Isso mostra que existem soluções não triviais (com ) para os coeficientes , , e .

Passo 7

Como conseguimos encontrar uma combinação linear não trivial que resulta no polinômio zero, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 8

Agora, sobre qualquer subconjunto com três elementos, como temos uma dependência linear no conjunto original que tem quatro elementos, qualquer subconjunto de três elementos será linearmente independente. Isso porque, em um espaço de dimensão 3 (como ), um conjunto com até 3 vetores pode ser independente.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente em . Além disso, qualquer subconjunto com três elementos desse conjunto é linearmente independente.

Exercícios relacionados

Verifique se nos seguintes casos (explique por que):
a)
b)
Seja uma matriz quadrada de ordem 3 tal que . Calcule:
(d) , onde
Obtenha uma equação vetorial para a reta t , que passa por P e é concorrente com re s, nos seguintes casos (interprete geometricamente os resultados):
a) s:
b) r: s:
c) s:
d) r: \left{ \quad\right.$ s: \left{ \right.$
Resolva o sistema
usando o método de Gauss-Jordan.