Obtenha uma equação vetorial para a reta t , que passa por P e é concorrente com re s, nos seguintes casos (interprete geometricamente os resultados):
a) P=(1,1,1) r: x+3=y-22=z-13 s: X=(-2,0,4)+lambda(1,1,-1)
b) P=(-2,2,-4) r: X=(-1,1,3)+lambda(-2,-2,2) s: X=(-2,4,4)+lambda(1,2,3)
c) P=(1.0,6) r:cx-y-z+5=0 2 x-z+4=0 s: x-32=y-23=z3
d) P=(1,-2,-1) r: \left{ lz=x-2 y=1-x \quad\right.$ s: \left{ s: lz=x-1 y=1+2 x\right.$

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma equação vetorial para a reta que passa por um ponto e que seja concorrente com as retas e . Isso significa que a reta deve intersectar tanto quanto . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas e vetoriais de retas, além de verificar pontos de interseção.

a)

Passo 2

Primeiro, vamos converter a equação simétrica da reta x + 31 = y - 22 = z - 13 para a forma vetorial, facilitando os cálculos.
A equação simétrica de Xr = (-3, 2, 1) + t(1, 2, 3) é:
Isso implica que:
onde é o parâmetro.

Passo 3

A reta Xs = (-2,0,4) + lambda(1,1,-1) já está na forma vetorial:
Aqui, o ponto de passagem é e o vetor diretor é .

Passo 4

Agora, queremos encontrar a reta que passa por e que intersecta tanto quanto . Para isso, vamos supor que intersecta no ponto e no ponto .

Passo 5

Vamos encontrar as coordenadas de Xr = (-3, 2, 1) + t(1, 2, 3) Rightarrow Q = (-3 + t, 2 + 2t, 1 + 3t) na reta Xs = (-2,0,4) + lambda(1,1,-1) Rightarrow K = (-2 + lambda, 0 + lambda, 4 - lambda) e de na reta .
Para :
Para :

Passo 6

A reta PQ = k cdot PK deve passar por e intersectar e . Assim, os vetores e devem ser colineares, ou seja:
onde é um escalar.

Passo 7

Calculando PQ = Q - P = (-3 + t - 1, 2 + 2t - 1, 1 + 3t - 1) = (-4 + t, 1 + 2t, 3t) e PK = K - P = (-2 + lambda - 1, 0 + lambda - 1, 4 - lambda - 1) = (-3 + lambda, lambda - 1, 3 - lambda) :

Passo 8

Estabelecendo a colinearidade:
(-4 + t, 1 + 2t, 3t) = k(-3 + lambda, lambda - 1, 3 - lambda)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
-4 + t = k(-3 + lambda) (1)
1 + 2t = k(lambda - 1) (2)
3t = k(3 - lambda) (3)

Passo 9

Resolvendo o sistema:
  1. Da equação (3):
k = 3t3 - lambda (4)
  1. Substituindo -4 + t = 3t3 - lambda (-3 + lambda) na equação (1):
-4 + t = 3t(-3 + lambda)3 - lambda = -3t
Simplificando:
-4 + t = -3t Rightarrow 4t = 4 Rightarrow t = 1
k = 3 cdot 13 - lambda = 33 - lambda
  1. Substituindo 1 + 2(1) = k(lambda - 1) Rightarrow 3 = 33 - lambda (lambda - 1) na equação (4):
3 - lambda = lambda - 1 Rightarrow 3 + 1 = 2lambda Rightarrow 4 = 2lambda Rightarrow lambda = 2
  1. Substituindo k = 33 - 2 = 3 na equação (2):
  1. Substituindo em :

Passo 10

Agora, temos Q = (-3 + 1, 2 + 2(1), 1 + 3(1)) = (-2, 4, 4) e K = (-2 + 2, 0 + 2, 4 - 2) = (0, 2, 2) . Vamos encontrar os pontos e :
Para :
Para :

Passo 11

Agora, vamos construir a reta dt = Q - P = (-2 -1, 4 -1, 4 -1) = (-3, 3, 3) que passa por dt = (-1, 1, 1) e . O vetor diretor de é:
Podemos simplificar dividindo por 3:

Passo 12

Assim, a equação vetorial da reta Xt = (1,1,1) + mu(-1,1,1) é:
onde é o parâmetro.

Passo 13

Vamos encontrar a equação da reta que passa por e que intersecta as retas e . Para isso, precisamos determinar os pontos de interseção de com e e então determinar a direção da reta .

Passo 14

Primeiro, escrevemos as equações paramétricas das retas Xr = (-1,1,3) + lambda(-2,-2,2) e x = -1 - 2lambda :
Para y = 1 - 2lambda :
z = 3 + 2lambda
Então:
Xs = (-2,4,4) + mu(1,2,3)
x = -2 + mu
y = 4 + 2mu
Para z = 4 + 3mu :
Então:

Passo 15

Vamos supor que a reta intersecta no ponto e no ponto . Então, os vetores e devem ser colineares.

Passo 16

Encontrando as coordenadas de Q = (-1 -2lambda, 1 -2lambda, 3 +2lambda) e K = (-2 + mu, 4 +2mu, 4 +3mu) :
Para na reta :
Para na reta :

Passo 17

Vetores PQ = Q - P = (-1 -2lambda +2, 1 -2lambda -2, 3 +2lambda +4) = (1 -2lambda, -1 -2lambda, 7 +2lambda) e PK = K - P = (-2 + mu +2, 4 +2mu -2, 4 +3mu +4) = (mu, 2 +2mu, 8 +3mu) :

Passo 18

Para que (1 -2lambda, -1 -2lambda, 7 +2lambda) = k(mu, 2 +2mu, 8 +3mu) e 1 -2lambda = kmu (1) sejam colineares, existe um escalar -1 -2lambda = k(2 +2mu) (2) tal que:
7 +2lambda = k(8 +3mu) (3)
Isso nos dá o sistema:

Passo 19

Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
k = 1 -2lambdamu (4)
Substituindo -1 -2lambda = 1 -2lambdamu(2 +2mu) na equação (2):
-1mu -2lambdamu = (1 -2lambda)(2 +2mu)
Multiplicando ambos os lados por - mu -2lambdamu = 2 +2mu -4lambda -4lambdamu :
- mu -2lambdamu -2mu +4lambda +4lambdamu = 2
Expandindo:
-3mu +4lambda +2lambdamu = 2
Reorganizando:
7 +2lambda = 1 -2lambdamu(8 +3mu)
7mu +2lambdamu = (1 -2lambda)(8 +3mu)
Da equação (3):
7mu +2lambdamu = 8 +3mu -16lambda -6lambdamu
Multiplicando ambos os lados por 7mu +2lambdamu -3mu +16lambda +6lambdamu = 8 :
4mu +16lambda +8lambdamu = 8
Expandindo:
mu +4lambda +2lambdamu = 2 (5)
Reorganizando:
Simplificando dividindo por 4:

Passo 20

Agora temos dois equações:
  1. (mu +4lambda +2lambdamu) - (-3mu +4lambda +2lambdamu) = 2 -2 \quad (6)
  2. 4mu = 0 Rightarrow mu = 0 \quad (5)
Subtraindo a equação (6) da equação (5):
0 +4lambda +0 = 2 Rightarrow lambda = 12
k = 1 -2(12)0 = 00
Substituindo na equação (5):
Substituindo e na equação (4):
Isso é indeterminado, o que significa que nossa suposição não nos deu uma solução válida. Portanto, precisamos revisar nosso método.

Passo 21

Como não encontramos uma solução consistente, isso indica que não existe uma reta que passe por e que seja concorrente com as retas e dadas.

Passo 22

Precisamos encontrar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto e que é concorrente com as retas e . As retas estão dadas em formas diferentes, então começaremos convertendo todas para a forma paramétrica ou vetorial para facilitar a análise.

Passo 23

Primeiro, vamos encontrar a equação vetorial da reta x - y - z + 5 = 0 2x - z + 4 = 0 . A reta é definida pelo sistema de equações:
Para encontrar a parametrização, vamos expressar duas das variáveis em função de uma terceira.

Passo 24

Vamos resolver o sistema para 2x - z + 4 = 0 Rightarrow 2x = z - 4 Rightarrow x = z - 42 e z - 42 - y - z + 5 = 0 em função de (z - 4) - 2y - 2z + 10 = 0 Rightarrow -z -2y +6 = 0 :
Da segunda equação:
z = -2y +6
Substituindo na primeira equação:
y = t
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
z = -2t +6
x = (-2t +6) -42 = -2t +22 = -t +1
Assim, podemos escolher Xr = (1,0,6) + t(-1,1,-2) como parâmetro. Então:
Portanto, a parametrização de é:

Passo 25

A reta x-32 = y-23 = z3 está na forma simétrica:
Xs = (3,2,0) + mu(2,3,3)
Podemos escrever a forma vetorial:
onde é o parâmetro.

Passo 26

Agora, queremos encontrar a reta que passa por e que intersecta ambas as retas e . Vamos supor que intersecta no ponto e no ponto .

Passo 27

Encontrando as coordenadas de Q = (1 - t, t, 6 -2t) e K = (3 +2mu, 2 +3mu, 0 +3mu) = (3 +2mu, 2 +3mu, 3mu) :
Para na reta :
Para na reta :

Passo 28

Vetores PQ = Q - P = (1 - t -1, t -0, 6 -2t -6) = (-t, t, -2t) e PK = K - P = (3 +2mu -1, 2 +3mu -0, 3mu -6) = (2 +2mu, 2 +3mu, 3mu -6) :

Passo 29

Para que (-t, t, -2t) = k(2 +2mu, 2 +3mu, 3mu -6) e -t = k(2 +2mu) (1) sejam colineares, existe um escalar t = k(2 +3mu) (2) tal que:
-2t = k(3mu -6) (3)
Isso nos dá o sistema:

Passo 30

Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
k = -t2 +2mu (4)
Da equação (2):
t = k(2 +3mu)
Substituindo t = -t2 +2mu(2 +3mu) da equação (4):
t = -t cdot 2 +3mu2 +2mu
t (1 + 2 +3mu2 +2mu) = 0
t (2 +2mu +2 +3mu2 +2mu) = 0
t (4 +5mu2 +2mu) = 0
mu = -45
Então, ou
implica que , mas queremos uma reta que intersecta e em pontos distintos.
Resolviendo :

Passo 31

Substituindo k = -t2 +2(-45) = -t2 -85 = -t25 = -5t2 na equação (4):
-2t = k(3(-45) -6) = k(-125 -6) = k(-425)
Agora, substituindo -2t = -5t2 cdot 425 = -5t cdot 4210 = -21t na equação (3):
-2t = -21t Rightarrow -2t +21t =0 Rightarrow 19t =0 Rightarrow t =0
Novamente, não nos dá uma solução válida.

Passo 32

Dessa forma, não há valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente além de , o que não atende ao que buscamos. Portanto, não existe uma reta que passe por e que seja concorrente com as retas e dadas.

Passo 33

Precisamos encontrar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto e que seja concorrente com as retas e . Ambas as retas e estão dadas em forma de sistema de equações que descrevem suas direções e pontos de passagem.

Passo 34

Vamos primeiro parametrizar as retas z = x -2 y = 1 - x e y = 1 - t :
Para z = t -2 :
Xr = (t, 1 - t, t -2)
Escolhemos z = x -1 y = 1 +2x como parâmetro. Então:
y = 1 + 2mu
z = mu -1
Portanto, a parametrização de Xs = (mu, 1 +2mu, mu -1) é:
Para :
Escolhemos como parâmetro. Então:
Portanto, a parametrização de é:

Passo 35

Agora, queremos encontrar a reta que passa por e que intersecta as retas e . Vamos supor que intersecta no ponto e no ponto .

Passo 36

Encontrando as coordenadas de Q = (t, 1 - t, t -2) e K = (mu, 1 +2mu, mu -1) :
Para na reta :
Para na reta :

Passo 37

Vetores PQ = Q - P = (t -1, 1 - t +2, t -2 +1) = (t -1, 3 - t, t -1) e PK = K - P = (mu -1, 1 +2mu +2, mu -1 +1) = (mu -1, 3 +2mu, mu) :

Passo 38

Para que (t -1, 3 - t, t -1) = k(mu -1, 3 +2mu, mu) e t -1 = k(mu -1) (1) sejam colineares, existe um escalar 3 - t = k(3 +2mu) (2) tal que:
t -1 = kmu (3)
Isso nos dá o sistema:

Passo 39

Da equação (1) e (3):
t -1 = k(mu -1) (1)
t -1 = kmu (3)
Igualando as duas expressões:
k(mu -1) = kmu
Se mu -1 = mu Rightarrow -1 =0 :
Isso é impossível, então a única possibilidade é que .

Passo 40

Se t -1 =0 Rightarrow t =1 , então das equações (1), (2) e (3):
3 -1 =0 Rightarrow 2 =0
1 -1 =0
Novamente, temos uma contradição na equação (2), indicando que não há solução válida.

Passo 41

Portanto, não existe uma reta que passe por e que seja concorrente com as retas e dadas.

Resposta

Não existe uma reta que passe pelo ponto e que seja concorrente com as retas e fornecidas.

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