Obtenha uma equação vetorial para a reta t , que passa por P e é concorrente com re s, nos seguintes casos (interprete geometricamente os resultados):
a) s:
b) r: s:
c) s:
d) r: \left{ \quad\right.$ s: \left{\right.$
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma equação vetorial para a reta que passa por um ponto e que seja concorrente com as retas e . Isso significa que a reta deve intersectar tanto quanto . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas e vetoriais de retas, além de verificar pontos de interseção.
a)
Passo 2
Primeiro, vamos converter a equação simétrica da reta para a forma vetorial, facilitando os cálculos.
A equação simétrica de é:
Isso implica que:
onde é o parâmetro.
Passo 3
A reta já está na forma vetorial:
Aqui, o ponto de passagem é e o vetor diretor é .
Passo 4
Agora, queremos encontrar a reta que passa por e que intersecta tanto quanto . Para isso, vamos supor que intersecta no ponto e no ponto .
Passo 5
Vamos encontrar as coordenadas de na reta e de na reta .
Para :
Para :
Passo 6
A reta deve passar por e intersectar e . Assim, os vetores e devem ser colineares, ou seja:
onde é um escalar.
Passo 7
Calculando e :
Passo 8
Estabelecendo a colinearidade:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da equação (3):
Substituindo na equação (1):
Simplificando:
Substituindo na equação (4):
Substituindo na equação (2):
Substituindo em :
Passo 10
Agora, temos e . Vamos encontrar os pontos e :
Para :
Para :
Passo 11
Agora, vamos construir a reta que passa por e . O vetor diretor de é:
Podemos simplificar dividindo por 3:
Passo 12
Assim, a equação vetorial da reta é:
onde é o parâmetro.
Passo 13
Vamos encontrar a equação da reta que passa por e que intersecta as retas e . Para isso, precisamos determinar os pontos de interseção de com e e então determinar a direção da reta .
Passo 14
Primeiro, escrevemos as equações paramétricas das retas e :
Para :
Então:
Para :
Então:
Passo 15
Vamos supor que a reta intersecta no ponto e no ponto . Então, os vetores e devem ser colineares.
Passo 16
Encontrando as coordenadas de e :
Para na reta :
Para na reta :
Passo 17
Vetores e :
Passo 18
Para que e sejam colineares, existe um escalar tal que:
Isso nos dá o sistema:
Passo 19
Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Reorganizando:
Da equação (3):
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Reorganizando:
Simplificando dividindo por 4:
Passo 20
Agora temos dois equações:
\quad (6)
\quad (5)
Subtraindo a equação (6) da equação (5):
Substituindo na equação (5):
Substituindo e na equação (4):
Isso é indeterminado, o que significa que nossa suposição não nos deu uma solução válida. Portanto, precisamos revisar nosso método.
Passo 21
Como não encontramos uma solução consistente, isso indica que não existe uma reta que passe por e que seja concorrente com as retas e dadas.
Passo 22
Precisamos encontrar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto e que é concorrente com as retas e . As retas estão dadas em formas diferentes, então começaremos convertendo todas para a forma paramétrica ou vetorial para facilitar a análise.
Passo 23
Primeiro, vamos encontrar a equação vetorial da reta . A reta é definida pelo sistema de equações:
Para encontrar a parametrização, vamos expressar duas das variáveis em função de uma terceira.
Passo 24
Vamos resolver o sistema para e em função de :
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Assim, podemos escolher como parâmetro. Então:
Portanto, a parametrização de é:
Passo 25
A reta está na forma simétrica:
Podemos escrever a forma vetorial:
onde é o parâmetro.
Passo 26
Agora, queremos encontrar a reta que passa por e que intersecta ambas as retas e . Vamos supor que intersecta no ponto e no ponto .
Passo 27
Encontrando as coordenadas de e :
Para na reta :
Para na reta :
Passo 28
Vetores e :
Passo 29
Para que e sejam colineares, existe um escalar tal que:
Isso nos dá o sistema:
Passo 30
Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
Da equação (2):
Substituindo da equação (4):
Então, ou
implica que , mas queremos uma reta que intersecta e em pontos distintos.
Resolviendo :
Passo 31
Substituindo na equação (4):
Agora, substituindo na equação (3):
Novamente, não nos dá uma solução válida.
Passo 32
Dessa forma, não há valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente além de , o que não atende ao que buscamos. Portanto, não existe uma reta que passe por e que seja concorrente com as retas e dadas.
Passo 33
Precisamos encontrar a equação vetorial da reta que passa pelo ponto e que seja concorrente com as retas e . Ambas as retas e estão dadas em forma de sistema de equações que descrevem suas direções e pontos de passagem.
Passo 34
Vamos primeiro parametrizar as retas e :
Para :
Escolhemos como parâmetro. Então:
Portanto, a parametrização de é:
Para :
Escolhemos como parâmetro. Então:
Portanto, a parametrização de é:
Passo 35
Agora, queremos encontrar a reta que passa por e que intersecta as retas e . Vamos supor que intersecta no ponto e no ponto .
Passo 36
Encontrando as coordenadas de e :
Para na reta :
Para na reta :
Passo 37
Vetores e :
Passo 38
Para que e sejam colineares, existe um escalar tal que:
Isso nos dá o sistema:
Passo 39
Da equação (1) e (3):
Igualando as duas expressões:
Se :
Isso é impossível, então a única possibilidade é que .
Passo 40
Se , então das equações (1), (2) e (3):
Novamente, temos uma contradição na equação (2), indicando que não há solução válida.
Passo 41
Portanto, não existe uma reta que passe por e que seja concorrente com as retas e dadas.
Resposta
Não existe uma reta que passe pelo ponto e que seja concorrente com as retas e fornecidas.