Sejam u=(2,-1,0), v=(-1,2,-1), w=(0,-1,2) e b=(1,0,0). Determine x, y, z in R tais que x u+y v+z w=b.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro vetores no espaço tridimensional: u=(2,-1,0), v=(-1,2,-1), w=(0,-1,2) e b=(1,0,0). O objetivo é encontrar os escalares x, y e z que, quando multiplicados pelos vetores u, v e w respectivamente e somados, resultam no vetor b. Isso envolve resolver um sistema de equações lineares usando o conceito de combinação linear.

Passo 2

Vamos escrever a combinação linear dada na questão:
x u + y v + z w = b
Substituindo os vetores pelos seus valores:
x(2, -1, 0) + y(-1, 2, -1) + z(0, -1, 2) = (1, 0, 0)
Isso nos dá três equações correspondentes às componentes de cada vetor.

Passo 3

Separando as componentes, temos:
2x - y + 0z = 1 - x + 2y - z = 0 0x - y + 2z = 0
Essas são as três equações que vamos resolver para encontrar os valores de x, y e z.

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, da terceira equação:
- y + 2z = 0 implies y = 2z
Agora, substituímos y por 2z na segunda equação:
- x + 2(2z) - z = 0 implies -x + 4z - z = 0 implies -x + 3z = 0 implies x = 3z

Passo 5

Agora, substituímos x = 3z e y = 2z na primeira equação:
2(3z) - (2z) + 0z = 1 implies 6z - 2z = 1 implies 4z = 1 implies z = 14

Passo 6

Com z = 14, podemos encontrar y:
y = 2z = 2 ( 14 ) = 12
E então, encontrar x:
x = 3z = 3 ( 14 ) = 34

Resposta

Os valores são x = dfrac34, y = dfrac12 e z = dfrac14.

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