Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro vetores no espaço tridimensional: , , e . O objetivo é encontrar os escalares , e que, quando multiplicados pelos vetores , e respectivamente e somados, resultam no vetor . Isso envolve resolver um sistema de equações lineares usando o conceito de combinação linear.
Passo 2
Vamos escrever a combinação linear dada na questão:
Substituindo os vetores pelos seus valores:
Isso nos dá três equações correspondentes às componentes de cada vetor.
Passo 3
Separando as componentes, temos:
Essas são as três equações que vamos resolver para encontrar os valores de x, y e z.
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiramente, da terceira equação:
- y + 2z = 0 implies y = 2z
Agora, substituímos y por 2z na segunda equação:
- x + 2(2z) - z = 0 implies -x + 4z - z = 0 implies -x + 3z = 0 implies x = 3z
Passo 5
Agora, substituímos x = 3z e y = 2z na primeira equação: