Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty 1raiz1+n^2+n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a série sumn=1^+infty 1raiz1+n^2+n é convergente. Isso envolve o estudo de séries infinitas e, mais especificamente, o teste de convergência de séries. Vamos precisar entender como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observe que:
raiz1 + n^2 = n raiz1 + 1n^2 = n (1 + 12n^2 + dots) approx n + 12n
Portanto, podemos aproximar raiz1 + n^2 approx n + 12n para valores grandes de n.

Passo 3

Agora, substituindo essa aproximação no denominador da nossa série:
raiz1 + n^2 + n approx (n + 12n) + n = 2n + 12n
Assim, o termo geral da série fica aproximado por:
12n + 12n approx 12n

Passo 4

Com essa aproximação, nossa série original se parece com:
sumn=1^+infty 12n
Sabemos que a série sumn=1^+infty 1n é a famosa série harmônica, que é divergente. Multiplicar por uma constante positiva, como 12, não muda a natureza da série, então sumn=1^+infty 12n também é divergente.

Passo 5

Para formalizar, podemos usar o Teste da Comparação. Se o termo geral da nossa série original for maior ou igual a um termo de uma série divergente, então a nossa série também diverge.
No nosso caso, mostramos que para grandes valores de n:
1raiz1 + n^2 + n >= 12n + 12n >= 12n + 1 >= 13n
E como sumn=1^+infty 13n diverge (sendo uma constante múltiplo da série harmônica), nossa série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 1raiz1+n^2+n é divergente.

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