Verifique se são convergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a série
é convergente. Isso envolve o estudo de séries infinitas e, mais especificamente, o teste de convergência de séries. Vamos precisar entender como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observe que:
Portanto, podemos aproximar
para valores grandes de
.
Passo 3
Agora, substituindo essa aproximação no denominador da nossa série:
Assim, o termo geral da série fica aproximado por:
Passo 4
Com essa aproximação, nossa série original se parece com:
Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que é divergente. Multiplicar por uma constante positiva, como
, não muda a natureza da série, então
também é divergente.
Passo 5
Para formalizar, podemos usar o Teste da Comparação. Se o termo geral da nossa série original for maior ou igual a um termo de uma série divergente, então a nossa série também diverge.
No nosso caso, mostramos que para grandes valores de
:
E como
diverge (sendo uma constante múltiplo da série harmônica), nossa série também diverge.
Resposta
A série
é divergente.
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Sc
, entio prove que
.
Uma indústria deseja fabricar caixas iguais em forma de paralelepípedo com volume por caixa igual a 128 unidades de volume. O material a ser utilizado na base tem custo de
por unidade de área, o material a ser usado nas paredes laterais tem custo de
por unidade de área e o material a ser usado na tampa tem custo de
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Encontre a assíntota horizontal de
quando
.