Uma indústria deseja fabricar caixas iguais em forma de paralelepípedo com volume por caixa igual a 128 unidades de volume. O material a ser utilizado na base tem custo de por unidade de área, o material a ser usado nas paredes laterais tem custo de por unidade de área e o material a ser usado na tampa tem custo de por unidade de área. Encontre as dimensões da caixa com menor custo de material.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos que fabricar caixas que são parecidas com um paralelepípedo (sabe, aquelas caixas retangulares). Cada caixa deve ter um volume de 128 unidades cúbicas. Os materiais para a base, as paredes laterais e a tampa têm custos diferentes por unidade de área: R$ 7,00 para a base, R$ 2,00 para as paredes e R$ 1,00 para a tampa. Nosso objetivo é encontrar as dimensões dessa caixa que fazem com que o custo total dos materiais seja o menor possível.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria (para lidar com o volume e as áreas) e cálculo (para otimizar o custo).
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis das dimensões da caixa. Vamos chamar:
= comprimento da caixa
= largura da caixa
= altura da caixa
Sabemos que o volume de um paralelepípedo é dado por:
E sabemos que o volume deve ser 128 unidades, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular as áreas das partes da caixa para determinar o custo. A caixa tem uma base, quatro paredes e uma tampa.
Área da base:
Área da tampa: Mesma da base,
Área das paredes laterais: Temos duas paredes de cada tipo:
Duas paredes com área
Duas paredes com área
Então, a área total das paredes é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o custo de cada parte:
Custo da base:
Custo da tampa:
Custo das paredes: (já que o custo por unidade de área das paredes laterais é R$ 2,00)
Então, o custo total da caixa é:
Passo 5
Precisamos minimizar o custo sujeito à restrição do volume . Para facilitar, vamos expressar em termos de e usando a restrição do volume:
Agora, substituímos na função de custo:
Agora, temos o custo em termos de e . Para encontrar o mínimo, precisamos derivar em relação a e e igualar a zero.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Igualando as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 7
Vamos resolver as equações (1) e (2) para e :
Da equação (1):
Da equação (2):
Dividindo a equação (3) pela equação (4):
Passo 8
Agora sabemos que . Vamos usar isso na restrição do volume para encontrar :
Também, pela equação (3):
Na verdade, é , então . Mas para simplificar, podemos deixar em termos de frações exatas:
E,
Resposta
As dimensões da caixa com menor custo de material são: