Sc
, entio prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência
que converge para um limite
. O exercício quer que a gente prove que a soma infinita dos termos
de
até o infinito é igual a
.
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série telescópica, que é quando muitos termos da soma acabam se cancelando, facilitando o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a soma parcial da série para entender como os termos se comportam. A soma parcial
da série até o termo
é:
Vamos expandir essa soma:
Observa que os termos
e
se cancelam, assim como
e
, e assim por diante. No final, só ficam:
Passo 3
Agora, queremos saber o que acontece quando
tende ao infinito. Sabemos que
converge para
, ou seja:
Portanto, quando
vai para infinito,
também vai para
. Assim, a soma parcial
se aproxima de:
Como
representa a soma dos primeiros
termos e queremos a soma infinita, temos:
Resposta
A soma infinita
é igual a
.
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Verifique se são convergentes:
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