Sc f(n) L, entio prove que sumn=1^+infty[f(n)-f(n+1)]=f(1)-L.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência que converge para um limite . O exercício quer que a gente prove que a soma infinita dos termos de até o infinito é igual a .
Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série telescópica, que é quando muitos termos da soma acabam se cancelando, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a soma parcial da série para entender como os termos se comportam. A soma parcial SN = sumn=1^N [f(n) - f(n+1)] da série até o termo SN = [f(1) - f(2)] + [f(2) - f(3)] + [f(3) - f(4)] + dots + [f(N) - f(N+1)] é:
SN = f(1) - f(N+1)
Vamos expandir essa soma:
Observa que os termos e se cancelam, assim como e , e assim por diante. No final, só ficam:

Passo 3

Agora, queremos saber o que acontece quando limn to +infty f(n) = L tende ao infinito. Sabemos que SN to f(1) - L converge para sumn=1^+infty [f(n) - f(n+1)] = f(1) - L , ou seja:
Portanto, quando vai para infinito, também vai para . Assim, a soma parcial se aproxima de:
Como representa a soma dos primeiros termos e queremos a soma infinita, temos:

Resposta

A soma infinita é igual a .

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