Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais:
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar que um subespaço vetorial deve satisfazer três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence ao conjunto
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição
:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve pertencer a
.
Sejam
e
em
. Então,
e
.
A soma desses vetores é
. Vamos verificar se esse vetor também satisfaz
:
Como
, a soma
também pertence a
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor de
por qualquer número real, o resultado também deve estar em
.
Seja
e
um escalar. Então,
.
Multiplicando o vetor por
, temos
. Vamos verificar se esse vetor também satisfaz
:
Assim,
, o que significa que
também pertence a
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.