Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: S=(x, y) in R^2 mid y=-x.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos lembrar que um subespaço vetorial deve satisfazer três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence ao conjunto 0 = -0 . O vetor zero em é . Substituindo na condição :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se y1 + y2 = -x1 - x2 = -(x1 + x2) é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve pertencer a .
Sejam e em . Então, e .
A soma desses vetores é . Vamos verificar se esse vetor também satisfaz :
Como , a soma também pertence a . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se c y = c (-x) = -c x é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor de por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Seja e um escalar. Então, .
Multiplicando o vetor por , temos . Vamos verificar se esse vetor também satisfaz :
Assim, , o que significa que também pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto é um subespaço vetorial de .

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