Verifique quais dos seguintes conjuntos dos vetores do espaço vetorial linearmente independente. .
Passo 1
Beleza, temos uma questão que pede para verificar se um conjunto de vetores no espaço vetorial é linearmente independente. Os vetores que vamos analisar são . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente independente e como podemos verificar isso usando matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um conjunto de vetores linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, não existe uma combinação dos vetores que resulte no vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 3
Para verificar a independência linear dos vetores dados, podemos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna dessa matriz. No nosso caso, a matriz ficará assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Vamos calcular passo a passo:
Calculando cada parte:
Passo 5
O determinante da matriz é , que é diferente de zero. Isso significa que os vetores formam um conjunto linearmente independente no espaço .
Resposta
Os vetores são linearmente independentes no espaço vetorial .