Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge: sumn=2^infty(-1)^n 1ln n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que a gente vai considerar a série com os valores absolutos dos termos, ou seja, integral2^infty 1ln x , dx .
Para saber se essa série converge, podemos usar o Teste da Integral. Vamos integrar a função de até o infinito:
Infelizmente, essa integral não converge; na verdade, ela diverge. Isso significa que a série também diverge. Então, a série não converge absolutamente.

Passo 3

Como a série não converge de forma absoluta, vamos verificar se ela converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série alternada converge.
  • Positivos: é sempre positivo para .
  • Decrescentes: Conforme aumenta, aumenta, então diminui.
  • Tendem a zero: .
Como todos os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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