Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que a gente vai considerar a série com os valores absolutos dos termos, ou seja,
.
Para saber se essa série converge, podemos usar o Teste da Integral. Vamos integrar a função
de
até o infinito:
Infelizmente, essa integral não converge; na verdade, ela diverge. Isso significa que a série
também diverge. Então, a série não converge absolutamente.
Passo 3
Como a série não converge de forma absoluta, vamos verificar se ela converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero quando
vai para o infinito, então a série alternada converge.
- Positivos:
é sempre positivo para . - Decrescentes: Conforme
aumenta, aumenta, então diminui. - Tendem a zero:
.
Como todos os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, a série
converge condicionalmente.
Resposta
A série
converge condicionalmente.
Exercícios relacionados
Mostre, a partir da definição de limite, que:
(b)
(b)
Encontre F(s) ou f(t).
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Determine a menor distância da origem à hipérbole de equação cartesiana
.