Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta da série. Isso significa que a gente vai considerar a série com os valores absolutos dos termos, ou seja, .
Para saber se essa série converge, podemos usar o Teste da Integral. Vamos integrar a função de até o infinito:
Infelizmente, essa integral não converge; na verdade, ela diverge. Isso significa que a série também diverge. Então, a série não converge absolutamente.

Passo 3

Como a série não converge de forma absoluta, vamos verificar se ela converge condicionalmente. Para isso, usamos o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito, então a série alternada converge.
  • Positivos: é sempre positivo para .
  • Decrescentes: Conforme aumenta, aumenta, então diminui.
  • Tendem a zero: .
Como todos os critérios do Teste da Série Alternada são atendidos, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

Exercícios relacionados

Mostre, a partir da definição de limite, que:
(b)
Encontre F(s) ou f(t).
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Determine a menor distância da origem à hipérbole de equação cartesiana .