Mostre, a partir da definição de limite, que:
(b)
(b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar, usando a definição de limite, que
. Para isso, vamos utilizar os conceitos de
(epsilon) e
(delta), que ajudam a formalizar o que significa o limite de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite:
Para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
No nosso caso:
Então, precisamos encontrar um
que satisfaça a condição acima para qualquer
.
Passo 3
Vamos começar substituindo os valores na definição:
Queremos que, para todo
, exista um
tal que se
, então
.
Passo 4
Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:
Então, a condição que precisamos satisfazer é:
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Dividindo ambos os lados da desigualdade por 2:
Passo 6
Então, se escolhermos
, garantimos que sempre que
, a condição
será satisfeita.
Resposta
Concluímos que, para qualquer
, escolhendo
, a condição da definição de limite é atendida. Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Encontre F(s) ou f(t).
Para cada uma das funções
abaixo, encontre os limites laterais
e
e forneça, caso exista, o valor de
:
(b)
(b)
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge: