Mostre, a partir da definição de limite, que:
(b)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar, usando a definição de limite, que . Para isso, vamos utilizar os conceitos de (epsilon) e (delta), que ajudam a formalizar o que significa o limite de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite:
Para todo , existe um tal que, se , então .
No nosso caso:
Então, precisamos encontrar um que satisfaça a condição acima para qualquer .

Passo 3

Vamos começar substituindo os valores na definição:
Queremos que, para todo , exista um tal que se , então .

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do valor absoluto:
Então, a condição que precisamos satisfazer é:

Passo 5

Agora, queremos isolar . Dividindo ambos os lados da desigualdade por 2:

Passo 6

Então, se escolhermos , garantimos que sempre que , a condição será satisfeita.

Resposta

Concluímos que, para qualquer , escolhendo , a condição da definição de limite é atendida. Portanto, mostramos que:

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Encontre F(s) ou f(t).
Para cada uma das funções abaixo, encontre os limites laterais e e forneça, caso exista, o valor de :
(b)
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge: