Determine a transformada de Laplace de
.
;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a transformada de Laplace da função
, que vale
para
e
para
. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é a transformada de Laplace e como aplicá-la em funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo
em uma função do domínio complexo
. A definição da transformada de Laplace é:
Isso ajuda a resolver equações diferenciais e analisar sistemas de forma mais fácil no domínio da frequência.
Passo 3
Nossa função
é definida de forma diferente em dois intervalos:
Para facilitar, podemos expressar
usando a função degrau de Heaviside
, que é 0 para
e 1 para
. Assim, podemos reescrever
como:
Passo 4
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de cada parte da função
. Sabemos que:
E para a função deslocada
:
Passo 5
Aplicando a linearidade da transformada de Laplace, temos:
Substituindo as transformadas que calculamos: