Sejam e vetores quaisquer de . Mostre que os vetores
são linearmente dependentes exibindo explicitamente uma combinação linear nula (não trivial) entre e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores , e definidos em como:
Queremos mostrar que esses vetores são linearmente dependentes, ou seja, existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero, sem que todos os coeficientes sejam zero. Para isso, precisaremos usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Vamos montar uma combinação linear dos vetores , e igual a zero:
Substituindo os valores de , e :
Passo 3
Agora, vamos distribuir os coeficientes , e nos termos dentro dos parênteses:
Passo 4
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Como , e são vetores quaisquer e não são necessariamente nulos, os coeficientes de cada um devem ser iguais a zero para que a combinação seja igual a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema para encontrar valores de , e que não sejam todos zero (ou seja, uma solução não trivial). Podemos usar métodos de substituição ou eliminação. Vamos optar por eliminação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Observamos que as equações (1) e (2) são iguais, o que indica que temos infinitas soluções. Vamos escolher um valor para . Por simplicidade, vamos deixar .
Então:
E substituindo na expressão para :
Resposta
Encontramos que , e . Portanto, uma combinação linear não trivial que resulta no vetor zero é: