Em , mantenhamos a definição do produto de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma dos vetores e . Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
(1) ;
(2) ;
(3) .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que trabalhar com vetores no plano . A definição de multiplicação por escalar ( ) vai ficar igual, mas vamos mexer na forma de somar dois vetores ( ) de três maneiras diferentes. Nosso objetivo é verificar, para cada uma dessas novas formas de soma, quais propriedades (ou axiomas) de um espaço vetorial continuam valendo e quais não valem mais. Para isso, precisamos lembrar quais são esses axiomas e como eles funcionam.

Passo 2

Vamos começar com a primeira modificação da soma:
  1. Definição modificada:
Aqui, e .
Análise dos Axiomas:
Para verificar se essa definição atende aos axiomas de um espaço vetorial, vamos conferir alguns deles:
  • Comutatividade:
    Claramente, a menos que , o que não é necessariamente verdadeiro para todos os vetores. Esse axioma é violado.
  • Associatividade:
    Aplicando a definição, ficaria complicado garantir que a associatividade se mantém. Provavelmente violado.
  • Existência do Elemento Neutro: Deve existir um vetor tal que .
    Procurando tal que:
    Isso implica que e , então . Parece funcionar. Esse axioma é mantido.
  • Existência do Inverso: Para cada , deve existir tal que .
    Procurando :
    Isso implica e , então . Aqui, conseguimos o inverso, então o axioma é mantido.
Conclusão: Comutatividade e associatividade são violadas, enquanto a existência do elemento neutro e do inverso são mantidas.

Passo 3

Agora vamos para a segunda modificação da soma:
  1. Definição modificada:
Aqui, e .
Análise dos Axiomas:
  • Comutatividade:
    Isso é verdadeiro porque a multiplicação é comutativa. Esse axioma é mantido.
  • Associatividade:
    A multiplicação é associativa, então isso mantém a associatividade. Esse axioma é mantido.
  • Existência do Elemento Neutro: Deve existir um vetor tal que .
    Procurando :
    Isso implica e , então . Mas em realidade, o elemento neutro de soma deveria ser apenas para essa operação, o que não corresponde ao elemento neutro padrão . Esse axioma está violado.
  • Existência do Inverso: Para cada , deve existir tal que .
    Procurando :
    Para atingir o elemento neutro , precisaríamos que e . No entanto, isso só é possível se e forem diferentes de zero. Esse axioma é violado para alguns vetores.
Conclusão: Somente comutatividade e associatividade são mantidas. A existência do elemento neutro e do inverso são violadas.

Passo 4

Agora vamos para a terceira modificação da soma:
  1. Definição modificada:
Aqui, e .
Análise dos Axiomas:
  • Comutatividade:
    Isso é verdadeiro porque a soma das componentes é comutativa. Esse axioma é mantido.
  • Associatividade:
    Vamos calcular:
    Claramente, e . Esse axioma é violado.
  • Existência do Elemento Neutro: Deve existir um vetor tal que .
    Procurando :
    Isso resulta em:
    Como depende de e , não existe um único vetor que funcione para todos os vetores . Esse axioma é violado.
  • Existência do Inverso: Para cada , deve existir tal que .
    Mesmo que tentássemos encontrar , a ausência de um elemento neutro consistente já impede que esse axioma seja satisfeito. Esse axioma é violado.
Conclusão: Apenas a comutatividade é mantida. Associatividade, existência do elemento neutro e do inverso são violadas.

Resposta

Resumindo as análises:
  1. Primeira definição ( ):
    • Mantidos: Existência do elemento neutro, existência do inverso.
    • Violados: Comutatividade, associatividade.
  2. Segunda definição ( ):
    • Mantidos: Comutatividade, associatividade.
    • Violados: Existência do elemento neutro, existência do inverso.
  3. Terceira definição ( ):
    • Mantidos: Comutatividade.
    • Violados: Associatividade, existência do elemento neutro, existência do inverso.
Portanto, nenhuma das três novas definições de soma preserva todos os axiomas de um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
© e
(a) Mostre que o conjunto é linearmente dependentes.
Encontre a integral indefinida da função em relação a e assinale a alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
(e)