Em R^2, mantenhamos a definição do produto alpha v de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma u+v dos vetores u=(x, y) e v=(x^prime, y^prime). Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
(1) u+v=(x+y^prime, x^prime+y);
(2) u+v=(xx^prime, yy^prime);
(3) u+v=(3 x+3 x^prime, 5 x+5 x^prime).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que trabalhar com vetores no plano . A definição de multiplicação por escalar ( ) vai ficar igual, mas vamos mexer na forma de somar dois vetores ( ) de três maneiras diferentes. Nosso objetivo é verificar, para cada uma dessas novas formas de soma, quais propriedades (ou axiomas) de um espaço vetorial continuam valendo e quais não valem mais. Para isso, precisamos lembrar quais são esses axiomas e como eles funcionam.

Passo 2

Vamos começar com a primeira modificação da soma:
  1. Definição modificada: u + v = (x + y', x' + y) e v + u = (x' + y, x + y')
Aqui, u + 0 = (x + b, a + y) = (x, y) e u + (-u) = (x + d, c + y) = (0, 0) .
Análise dos Axiomas:
Para verificar se essa definição atende aos axiomas de um espaço vetorial, vamos conferir alguns deles:
  • Comutatividade:
    Claramente, a menos que , o que não é necessariamente verdadeiro para todos os vetores. Esse axioma é violado.
  • Associatividade:
    Aplicando a definição, ficaria complicado garantir que a associatividade se mantém. Provavelmente violado.
  • Existência do Elemento Neutro: Deve existir um vetor tal que .
    Procurando tal que:
    Isso implica que e , então . Parece funcionar. Esse axioma é mantido.
  • Existência do Inverso: Para cada , deve existir tal que .
    Procurando :
    Isso implica e , então . Aqui, conseguimos o inverso, então o axioma é mantido.
Conclusão: Comutatividade e associatividade são violadas, enquanto a existência do elemento neutro e do inverso são mantidas.

Passo 3

Agora vamos para a segunda modificação da soma:
  1. Definição modificada: u + v = (x cdot x', y cdot y') = v + u
Aqui, (u + v) + w = ((x cdot x') cdot x'', (y cdot y') cdot y'') e u + (v + w) = (x cdot (x' cdot x''), y cdot (y' cdot y'')) .
Análise dos Axiomas:
  • Comutatividade: u + 0 = (x cdot a, y cdot b) = (x, y)
    u + (-u) = (x cdot c, y cdot d) = (1, 1)
    Isso é verdadeiro porque a multiplicação é comutativa. Esse axioma é mantido.
  • Associatividade:
    A multiplicação é associativa, então isso mantém a associatividade. Esse axioma é mantido.
  • Existência do Elemento Neutro: Deve existir um vetor tal que .
    Procurando :
    Isso implica e , então . Mas em realidade, o elemento neutro de soma deveria ser apenas para essa operação, o que não corresponde ao elemento neutro padrão . Esse axioma está violado.
  • Existência do Inverso: Para cada , deve existir tal que .
    Procurando :
    Para atingir o elemento neutro , precisaríamos que e . No entanto, isso só é possível se e forem diferentes de zero. Esse axioma é violado para alguns vetores.
Conclusão: Somente comutatividade e associatividade são mantidas. A existência do elemento neutro e do inverso são violadas.

Passo 4

Agora vamos para a terceira modificação da soma:
  1. Definição modificada: u + v = (3x + 3x', 5x + 5x') = v + u
Aqui, u + v = (3x + 3x', 5x + 5x') e (u + v) + w = (3(3x + 3x' ) + 3x'', 5(3x + 3x') + 5x'') = (9x + 9x' + 3x'', 15x + 15x' + 5x'') .
Análise dos Axiomas:
  • Comutatividade: u + (v + w) = (3x + 3(3x' + 3x''), 5x + 5(3x' + 3x'')) = (3x + 9x' + 9x'', 5x + 15x' + 15x'')
    u + 0 = (3x + 3a, 5x + 5a) = (x, y)
    Isso é verdadeiro porque a soma das componentes é comutativa. Esse axioma é mantido.
  • Associatividade: 3x + 3a = x Rightarrow 3a = -2x Rightarrow a = -23x
    Vamos calcular:
    5x + 5a = y Rightarrow 5a = y - 5x Rightarrow a = y - 5x5
    Claramente, e . Esse axioma é violado.
  • Existência do Elemento Neutro: Deve existir um vetor tal que .
    Procurando :
    Isso resulta em:
    Como depende de e , não existe um único vetor que funcione para todos os vetores . Esse axioma é violado.
  • Existência do Inverso: Para cada , deve existir tal que .
    Mesmo que tentássemos encontrar , a ausência de um elemento neutro consistente já impede que esse axioma seja satisfeito. Esse axioma é violado.
Conclusão: Apenas a comutatividade é mantida. Associatividade, existência do elemento neutro e do inverso são violadas.

Resposta

Resumindo as análises:
  1. Primeira definição ( ):
    • Mantidos: Existência do elemento neutro, existência do inverso.
    • Violados: Comutatividade, associatividade.
  2. Segunda definição ( ):
    • Mantidos: Comutatividade, associatividade.
    • Violados: Existência do elemento neutro, existência do inverso.
  3. Terceira definição ( ):
    • Mantidos: Comutatividade.
    • Violados: Associatividade, existência do elemento neutro, existência do inverso.
Portanto, nenhuma das três novas definições de soma preserva todos os axiomas de um espaço vetorial.

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