Em
, mantenhamos a definição do produto
de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma
dos vetores
e
. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
(1)
;
(2)
;
(3)
.
(1)
(2)
(3)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que trabalhar com vetores no plano
. A definição de multiplicação por escalar (
) vai ficar igual, mas vamos mexer na forma de somar dois vetores (
) de três maneiras diferentes. Nosso objetivo é verificar, para cada uma dessas novas formas de soma, quais propriedades (ou axiomas) de um espaço vetorial continuam valendo e quais não valem mais. Para isso, precisamos lembrar quais são esses axiomas e como eles funcionam.
Passo 2
Vamos começar com a primeira modificação da soma:
- Definição modificada:
Aqui,
e
.
Análise dos Axiomas:
Para verificar se essa definição atende aos axiomas de um espaço vetorial, vamos conferir alguns deles:
-
Comutatividade:Claramente,
a menos que , o que não é necessariamente verdadeiro para todos os vetores. Esse axioma é violado. -
Associatividade:Aplicando a definição, ficaria complicado garantir que a associatividade se mantém. Provavelmente violado.
-
Existência do Elemento Neutro: Deve existir um vetor
tal que . Procurandotal que: Isso implica quee , então . Parece funcionar. Esse axioma é mantido. -
Existência do Inverso: Para cada
, deve existir tal que . Procurando: Isso implicae , então . Aqui, conseguimos o inverso, então o axioma é mantido.
Conclusão: Comutatividade e associatividade são violadas, enquanto a existência do elemento neutro e do inverso são mantidas.
Passo 3
Agora vamos para a segunda modificação da soma:
- Definição modificada:
Aqui,
e
.
Análise dos Axiomas:
-
Comutatividade:Isso é verdadeiro porque a multiplicação é comutativa. Esse axioma é mantido.
-
Associatividade:A multiplicação é associativa, então isso mantém a associatividade. Esse axioma é mantido.
-
Existência do Elemento Neutro: Deve existir um vetor
tal que . Procurando: Isso implicae , então . Mas em realidade, o elemento neutro de soma deveria ser apenas para essa operação, o que não corresponde ao elemento neutro padrão . Esse axioma está violado. -
Existência do Inverso: Para cada
, deve existir tal que . Procurando: Para atingir o elemento neutro, precisaríamos que e . No entanto, isso só é possível se e forem diferentes de zero. Esse axioma é violado para alguns vetores.
Conclusão: Somente comutatividade e associatividade são mantidas. A existência do elemento neutro e do inverso são violadas.
Passo 4
Agora vamos para a terceira modificação da soma:
- Definição modificada:
Aqui,
e
.
Análise dos Axiomas:
-
Comutatividade:Isso é verdadeiro porque a soma das componentes é comutativa. Esse axioma é mantido.
-
Associatividade:Vamos calcular:Claramente,
e . Esse axioma é violado. -
Existência do Elemento Neutro: Deve existir um vetor
tal que . Procurando: Isso resulta em:Comodepende de e , não existe um único vetor que funcione para todos os vetores . Esse axioma é violado. -
Existência do Inverso: Para cada
, deve existir tal que . Mesmo que tentássemos encontrar, a ausência de um elemento neutro consistente já impede que esse axioma seja satisfeito. Esse axioma é violado.
Conclusão: Apenas a comutatividade é mantida. Associatividade, existência do elemento neutro e do inverso são violadas.
Resposta
Resumindo as análises:
-
Primeira definição (
): - Mantidos: Existência do elemento neutro, existência do inverso.
- Violados: Comutatividade, associatividade.
-
Segunda definição (
): - Mantidos: Comutatividade, associatividade.
- Violados: Existência do elemento neutro, existência do inverso.
-
Terceira definição (
): - Mantidos: Comutatividade.
- Violados: Associatividade, existência do elemento neutro, existência do inverso.
Portanto, nenhuma das três novas definições de soma preserva todos os axiomas de um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Verifique se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
© e
©
(a) Mostre que o conjunto
é linearmente dependentes.
Encontre a integral indefinida da função
em relação a
e assinale a alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Verifique se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
(e)
(e)