Determine , e para que a seguinte matriz seja simétrica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de , e de modo que a matriz dada seja simétrica. Matrizes simétricas são aquelas que são iguais às suas transpostas, ou seja, o elemento na posição deve ser igual ao elemento na posição . Para resolver isso, vamos precisar igualar os elementos correspondentes da matriz com os da sua transposta e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais elementos precisam ser iguais para que a matriz seja simétrica. Olhando para a matriz:
29 & 1 & -1 12 a - b + 32 c & raiz2 & -2 2 a + 12 b + c & a + c & 9
A transposta dessa matriz seria:
29 & 12 a - b + 32 c & 2 a + 12 b + c 1 & raiz2 & a + c -1 & -2 & 9
Para a matriz ser simétrica, devemos ter:
Elemento Elemento
Elemento Elemento
Elemento Elemento
Passo 3
Vamos começar igualando o elemento 1 = 12 a - b + 32 c com o elemento 12a - b + 32c = 1 (Equação 1) :
Essa é nossa primeira equação:
çã
Passo 4
Agora, igualamos o elemento -1 = 2a + 12 b + c com o elemento 2a + 12b + c = -1 (Equação 2) :
Essa é a segunda equação:
çã
Passo 5
Por fim, igualamos o elemento -2 = a + c com o elemento a + c = -2 (Equação 3) :
Essa é a terceira equação:
çã
Passo 6
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
12a - b + 32c = 1 (Equação 1) 2a + 12b + c = -1 (Equação 2) a + c = -2 (Equação 3) çãçãçã
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 7
Primeiro, da Equação 3, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar a = -2 - c :
Agora, substituímos nas Equações 1 e 2.
Passo 8
Substituindo 12(-2 - c) - b + 32c = 1 na Equação 1:
-1 - 12c - b + 32c = 1 (-1) + ( -12c + 32c ) - b = 1 -1 + c - b = 1
Simplificando:
c - b = 2 (Equação 4)
Rearranjando:
çã
Passo 9
Agora, substituindo 2(-2 - c) + 12b + c = -1 na Equação 2:
-4 - 2c + 12b + c = -1 -4 - c + 12b = -1
Simplificando:
- c + 12b = 3 (Equação 5)
Rearranjando:
çã
Passo 10
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
c - b = 2 (Equação 4) - c + 12b = 3 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 4, podemos isolar c = b + 2 :