Determine , e para que a seguinte matriz seja simétrica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de , e de modo que a matriz dada seja simétrica. Matrizes simétricas são aquelas que são iguais às suas transpostas, ou seja, o elemento na posição deve ser igual ao elemento na posição . Para resolver isso, vamos precisar igualar os elementos correspondentes da matriz com os da sua transposta e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais elementos precisam ser iguais para que a matriz seja simétrica. Olhando para a matriz:
A transposta dessa matriz seria:
Para a matriz ser simétrica, devemos ter:
Elemento Elemento
Elemento Elemento
Elemento Elemento
Passo 3
Vamos começar igualando o elemento com o elemento :
Essa é nossa primeira equação:
çã
Passo 4
Agora, igualamos o elemento com o elemento :
Essa é a segunda equação:
çã
Passo 5
Por fim, igualamos o elemento com o elemento :
Essa é a terceira equação:
çã
Passo 6
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
çãçãçã
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 7
Primeiro, da Equação 3, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar :
Agora, substituímos nas Equações 1 e 2.
Passo 8
Substituindo na Equação 1:
Simplificando:
Rearranjando:
çã
Passo 9
Agora, substituindo na Equação 2:
Simplificando:
Rearranjando:
çã
Passo 10
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 4, podemos isolar :
Passo 11
Substituindo na Equação 5:
Simplificando:
Rearranjando:
Passo 12
Agora que sabemos que , substituímos esse valor em :