Determine , e para que a seguinte matriz seja simétrica:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de , e de modo que a matriz dada seja simétrica. Matrizes simétricas são aquelas que são iguais às suas transpostas, ou seja, o elemento na posição deve ser igual ao elemento na posição . Para resolver isso, vamos precisar igualar os elementos correspondentes da matriz com os da sua transposta e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais elementos precisam ser iguais para que a matriz seja simétrica. Olhando para a matriz:
A transposta dessa matriz seria:
Para a matriz ser simétrica, devemos ter:
  1. Elemento Elemento
  2. Elemento Elemento
  3. Elemento Elemento

Passo 3

Vamos começar igualando o elemento com o elemento :
Essa é nossa primeira equação:
çã

Passo 4

Agora, igualamos o elemento com o elemento :
Essa é a segunda equação:
çã

Passo 5

Por fim, igualamos o elemento com o elemento :
Essa é a terceira equação:
çã

Passo 6

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
çãçãçã
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 7

Primeiro, da Equação 3, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar :
Agora, substituímos nas Equações 1 e 2.

Passo 8

Substituindo na Equação 1:
Simplificando:
Rearranjando:
çã

Passo 9

Agora, substituindo na Equação 2:
Simplificando:
Rearranjando:
çã

Passo 10

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 4, podemos isolar :

Passo 11

Substituindo na Equação 5:
Simplificando:
Rearranjando:

Passo 12

Agora que sabemos que , substituímos esse valor em :

Passo 13

Por fim, voltamos à Equação 3 para encontrar :

Resposta

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