Verifique que Im(f) ⊆ Dom(g) e determine g(f) se:
© f(x) = {-2x, para x < -1; -x, para x ≥ -1} e g(u) = u^2 + u, u in R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
  • definida por:
  • , onde é um número real.
O enunciado pede para verificar se a imagem de ( ) está contida no domínio de ( ) e, em seguida, determinar a função composta , ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  1. Imagem e domínio das funções: A imagem de são todos os valores que pode assumir, e o domínio de são todos os valores de entrada permitidos para .
  2. Composição de funções: Para compor com , precisamos que toda a imagem de esteja dentro do domínio de .

Passo 2

Vamos primeiro determinar a imagem de . Isso significa encontrar todos os possíveis valores que pode assumir conforme varia.
A função tem duas partes:
  1. Para , .
  2. Para , .
Vamos analisar cada caso:
  • Caso 1: Quando , . Como é menor que -1, será positivo porque multiplicamos dois negativos:
    Portanto, para , .
  • Caso 2: Quando , .
    Portanto, para , .
Então, a imagem de é:

Passo 3

Agora, vamos identificar o domínio de . A função é um polinômio, e polinômios estão definidos para todos os números reais. Portanto:

Passo 4

Precisamos verificar se a imagem de está contida no domínio de :
Como , e é um subconjunto de , então:
Portanto, a condição está satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos determinar a função composta , ou seja, .
Sabemos que , então:
Vamos substituir dependendo de cada caso:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 6

Então, a função composta fica definida por:

Resposta

A função composta é:

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