Considere um solenoide cujo eixo coincide com o eixo x, com diâmetro interno D, N espiras enroladas e um comprimento total L. Esse solenoide está conectado a uma resistência externa R, enquanto sua resistência própria pode ser considerada como desprezível. O solenoide está imerso em um campo magnético homogêneo que varia com o tempo na forma: B=B0(e^-t / tau x+t^2tau^2 y), onde B0 e tau são constantes.
Determine o campo magnético gerado pelo solenoide produzido pela corrente induzida circulando no solenoide.

Passo 1

Então, temos um exercício sobre um solenoide submetido a um campo magnético variável no tempo. Vamos precisar usar conceitos de indução eletromagnética, especialmente a Lei de Faraday, para encontrar a corrente induzida no solenoide. Com essa corrente, podemos calcular o campo magnético gerado pelo próprio solenoide. Para isso, vamos precisar das fórmulas relacionadas a solenoides e à indução de corrente em circuitos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo magnético externo que está atuando sobre o solenoide. O campo é dado por:
B = B0(e^-t / tau x + t^2tau^2 y)
Aqui, e são constantes, e o campo tem componentes nas direções e .

Passo 3

O próximo passo é calcular o fluxo magnético que atravessa o solenoide. O fluxo magnético ( Phi = integral B cdot dA ) é a integral do campo magnético ( A = pi (D2)^2 = pi D^24 ) sobre a área ( ) do solenoide:
Como o solenoide tem diâmetro interno , podemos encontrar a área da seção transversal:

Passo 4

Agora, vamos considerar que apenas a componente do campo magnético na direção do eixo do solenoide ( Phi = B0 e^-t / tau cdot A ) contribui para a variação do fluxo que gera a força eletromotriz. A componente na direção não contribui diretamente porque é perpendicular à área de fluxo do solenoide.
Portanto, o fluxo magnético é:

Passo 5

Com o fluxo magnético definido, usamos a Lei de Faraday para encontrar a força eletromotriz induzida ( E = -N dPhidt ) no solenoide:
E = -N ddt(B0 e^-t / tau A) = -N B0 A (-1tau e^-t / tau) = N B0 Atau e^-t / tau
Substituindo :

Passo 6

Com a força eletromotriz ( I = ER = N B0 AR tau e^-t / tau ) conhecida, podemos encontrar a corrente induzida ( ) no solenoide usando a Lei de Ohm:

Passo 7

Finalmente, para calcular o campo magnético gerado pelo solenoide devido a essa corrente induzida, usamos a fórmula do campo interno de um solenoide:
Bso<=noide = mu0 NL I
Substituindo Bso<=noide = mu0 NL cdot N B0 AR tau e^-t / tau = mu0 N^2 A B0L R tau e^-t / tau :
Bso<=noide = mu0 N^2 pi D^2 B04 L R tau e^-t / tau
Como , substituindo:

Resposta

O campo magnético gerado pelo solenoide devido à corrente induzida é:
Bso<=noide = mu0 N^2 pi D^2 B04 L R tau e^-t / tau

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