Considere um solenoide cujo eixo coincide com o eixo , com diâmetro interno espiras enroladas e um comprimento total . Esse solenoide está conectado a uma resistência externa , enquanto sua resistência própria pode ser considerada como desprezível. O solenoide está imerso em um campo magnético homogêneo que varia com o tempo na forma: , onde e são constantes.
Determine o campo magnético gerado pelo solenoide produzido pela corrente induzida circulando no solenoide.

Passo 1

Então, temos um exercício sobre um solenoide submetido a um campo magnético variável no tempo. Vamos precisar usar conceitos de indução eletromagnética, especialmente a Lei de Faraday, para encontrar a corrente induzida no solenoide. Com essa corrente, podemos calcular o campo magnético gerado pelo próprio solenoide. Para isso, vamos precisar das fórmulas relacionadas a solenoides e à indução de corrente em circuitos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo magnético externo que está atuando sobre o solenoide. O campo é dado por:
Aqui, e são constantes, e o campo tem componentes nas direções e .

Passo 3

O próximo passo é calcular o fluxo magnético que atravessa o solenoide. O fluxo magnético ( ) é a integral do campo magnético ( ) sobre a área ( ) do solenoide:
Como o solenoide tem diâmetro interno , podemos encontrar a área da seção transversal:

Passo 4

Agora, vamos considerar que apenas a componente do campo magnético na direção do eixo do solenoide ( ) contribui para a variação do fluxo que gera a força eletromotriz. A componente na direção não contribui diretamente porque é perpendicular à área de fluxo do solenoide.
Portanto, o fluxo magnético é:

Passo 5

Com o fluxo magnético definido, usamos a Lei de Faraday para encontrar a força eletromotriz induzida ( ) no solenoide:
Substituindo :

Passo 6

Com a força eletromotriz ( ) conhecida, podemos encontrar a corrente induzida ( ) no solenoide usando a Lei de Ohm:

Passo 7

Finalmente, para calcular o campo magnético gerado pelo solenoide devido a essa corrente induzida, usamos a fórmula do campo interno de um solenoide:
Substituindo :
Como , substituindo:

Resposta

O campo magnético gerado pelo solenoide devido à corrente induzida é:

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