Verifique o Teorema de Stokes para e para o hemisfério superior da esfera:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar o Teorema de Stokes para o campo vetorial e para o hemisfério superior da esfera definido por .
Isso envolve o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de linha desse campo ao redor da borda da superfície. Vamos precisar calcular o rotacional de , parametrizar a superfície e sua borda, e então comparar as duas integrais para verificar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional do campo vetorial . O rotacional, ou “curl”, de é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então, o rotacional fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional sobre a superfície . A integral de superfície é dada por:
Onde é o vetor normal à superfície. Como estamos trabalhando com o hemisfério superior da esfera , o vetor normal pode ser simplesmente , já que é uma esfera de raio 1.
Então, o produto escalar é:
Agora, a integral de superfície fica:
Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas onde:
E o elemento de área . Como estamos no hemisfério superior, varia de 0 a e de 0 a .
Então, a integral se torna:
Vamos separar essa integral em duas partes:
A primeira integral em relação a de de 0 a é zero, pois a função é simétrica e se anula no intervalo completo. Então, sobra apenas:
Calculamos a integral em :
E a integral em :
Então, a integral de superfície é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de linha do campo ao redor da borda de , que é o círculo unitário no plano . A integral de linha é dada por:
No plano , podemos parametrizar o círculo unitário usando:
O vetor diferencial é:
Substituindo na expressão de :
Então, o produto escalar é:
Portanto, a integral de linha fica:
Podemos simplificar usando a identidade :
Sabemos que:
Então, a integral de linha é:

Resposta

As duas integrais, tanto a de superfície quanto a de linha, resultam em . Portanto, o Teorema de Stokes é verificado para o campo vetorial dado e o hemisfério superior da esfera.

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Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível.
Seja uma superfície dada por . Calcule
onde , com orientada com vetor normal apontando para cima.
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
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