Verifique se a série converge utilizando o Teste da Comparação e Comparação no Limite (quando for o caso):
sumn=1^infty (2 n-1)(n^2-1)(n+1)(n^2+4)^2

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para verificar se a série sumn=1^infty (2n-1)(n^2-1)(n+1)(n^2+4)^2 converge, usando o Teste da Comparação e a Comparação no Limite. Vamos precisar conhecer um pouco sobre séries e como comparar termos para decidir se a soma infinita dá um resultado finito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série para entender como eles se comportam quando (2n -1)(n^2-1)(n +1)(n^2+4)^2 fica bem grande. Olhando para a fração:
2n cdot n^2n cdot n^4 = 2n^3n^5 = 2n^2
Para grande, os termos de menor grau (como -1 ou +4) acabam tendo pouca influência. Então, podemos simplificar aproximando apenas os termos de maior grau:
Isso nos sugere que os termos da nossa série são semelhantes a para valores grandes de .

Passo 3

Conhecendo essa aproximação, vamos comparar nossa série com a série , que é uma série -série. Sabemos que uma -série converge se . No nosso caso, , então essa série converge.

Passo 4

Agora, vamos usar o Teste da Comparação no Limite para formalizar essa comparação. Definimos:
an = (2n-1)(n^2-1)(n+1)(n^2+4)^2 e bn = 1n^2
Calculamos o limite:
limn to infty anbn = limn to infty (2n-1)(n^2-1)(n+1)(n^2+4)^2 cdot n^2
Simplificando os termos de maior grau:
limn to infty 2n cdot n^2 cdot n^2n cdot n^4 = limn to infty 2n^5n^5 = 2
Como o limite é um número positivo e finito ( ), o Teste da Comparação no Limite nos diz que as duas séries se comportam da mesma forma em termos de convergência.

Resposta

Como a série de comparação sumn=1^infty (2n-1)(n^2-1)(n+1)(n^2+4)^2 converge e o limite é positivo e finito, concluímos que a série original também converge.

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