Verifique se a série converge utilizando o Teste da Comparação e Comparação no Limite (quando for o caso):
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para verificar se a série
converge, usando o Teste da Comparação e a Comparação no Limite. Vamos precisar conhecer um pouco sobre séries e como comparar termos para decidir se a soma infinita dá um resultado finito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série para entender como eles se comportam quando
fica bem grande. Olhando para a fração:
Para
grande, os termos de menor grau (como -1 ou +4) acabam tendo pouca influência. Então, podemos simplificar aproximando apenas os termos de maior grau:
Isso nos sugere que os termos da nossa série são semelhantes a
para valores grandes de
.
Passo 3
Conhecendo essa aproximação, vamos comparar nossa série com a série
, que é uma série
-série. Sabemos que uma
-série converge se
. No nosso caso,
, então essa série converge.
Passo 4
Agora, vamos usar o Teste da Comparação no Limite para formalizar essa comparação. Definimos:
Calculamos o limite:
Simplificando os termos de maior grau:
Como o limite é um número positivo e finito (
), o Teste da Comparação no Limite nos diz que as duas séries se comportam da mesma forma em termos de convergência.
Resposta
Como a série de comparação
converge e o limite é positivo e finito, concluímos que a série original
também converge.
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