Considere a equação diferencial y'' - y' + 1/4 y = 3 + e^(x/2). Verifique se y = c1 * e^(x/2) + c2 * x * e^(x/2) + 12 + (1/2) * x^2 * e^(x/2) é solução dessa EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é solução da equação diferencial . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem. Precisamos calcular a primeira e segunda derivadas de e substituir na equação para ver se ela satisfaz a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . Lembre que a derivada de é e aplicar a regra do produto para termos como .
Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Novamente, vamos aplicar a regra do produto onde necessário.
Derivando :
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos , e , vamos substituir na equação diferencial:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
  1. Termos com :

    • Totalizando:
  2. Termos com :

    • Totalizando:
  3. Termos com :

    • Totalizando:
  4. Termo constante:

Passo 6

Juntando tudo, temos:
Isso coincide com o lado direito da equação diferencial.

Resposta

Sim, a função é solução da equação diferencial dada.

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