Verifique se pertence ao subespaço vetorial . e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para verificar se o vetor pertence ao subespaço vetorial , que é gerado pelos vetores e . A gente vai usar conceitos de combinação linear para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que pode ser formado por combinações lineares dos vetores que o geram. No nosso caso, é formado por todas as combinações lineares de e . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e são números reais.

Passo 3

Agora, para verificar se o vetor está em , precisamos descobrir se existem valores de e que satisfazem a seguinte equação vetorial:

Passo 4

Vamos quebrar essa equação em componentes individuais. Isso significa que cada coordenada do vetor à esquerda deve ser igual à soma das correspondentes coordenadas da combinação linear à direita. Assim, temos:
  1. Na primeira coordenada:
  1. Na segunda coordenada:
  1. Na terceira coordenada:

Passo 5

Vamos analisar as equações que obtivemos:
Observamos que temos a partir da terceira equação. Substituindo esse valor na primeira equação:
Agora, vamos verificar se esses valores satisfazem a segunda equação:
, que deveria ser igual a . Vemos que isso não é verdade, pois . Isso significa que não existe um par de valores e que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

Como não conseguimos encontrar valores de e que satisfaçam todas as equações, podemos concluir que o vetor não pertence ao subespaço vetorial .

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