Justifique, sem fazer contas, porque não é base de . e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto e um espaço vetorial . O objetivo é mostrar, sem fazer cálculos, por que não é uma base para . Para isso, vamos lembrar o que é uma base e quais são os requisitos para um conjunto ser uma base de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições principais:
  1. Ser linearmente independente: Nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
  2. Gerar o espaço vetorial inteiro: Qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Vamos aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

No conjunto , temos apenas um vetor. Embora esse vetor seja não nulo e, por isso, seja linearmente independente sozinho, precisamos verificar se ele consegue gerar todo o espaço .

Passo 4

Para gerar , precisamos que qualquer vetor bidimensional possa ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Mas com apenas , só conseguimos gerar vetores da forma , onde é um número real. Ou seja, não conseguimos alcançar vetores onde a segunda componente é diferente de zero.

Passo 5

Como não conseguimos gerar vetores com a segunda componente diferente de zero, o conjunto não consegue gerar todo o espaço . Portanto, ele não satisfaz uma das condições necessárias para ser uma base.

Resposta

O conjunto não é uma base de porque, apesar de ser linearmente independente, não consegue gerar todo o espaço , já que apenas pode formar vetores da forma , deixando de fora qualquer vetor com a segunda componente diferente de zero.

Exercícios relacionados

Verifique se o conjunto é base do espaço vetorial . e .
Verifique se pertence ao subespaço vetorial . e .
Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais. .
Prove que todo conjunto com 3 vetores (ou mais) em é L.D.