Justifique, sem fazer contas, porque
não é base de
.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um conjunto
e um espaço vetorial
. O objetivo é mostrar, sem fazer cálculos, por que
não é uma base para
. Para isso, vamos lembrar o que é uma base e quais são os requisitos para um conjunto ser uma base de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, uma base de um espaço vetorial precisa satisfazer duas condições principais:
- Ser linearmente independente: Nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
- Gerar o espaço vetorial inteiro: Qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Vamos aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
No conjunto
, temos apenas um vetor. Embora esse vetor seja não nulo e, por isso, seja linearmente independente sozinho, precisamos verificar se ele consegue gerar todo o espaço
.
Passo 4
Para gerar
, precisamos que qualquer vetor bidimensional
possa ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Mas com apenas
, só conseguimos gerar vetores da forma
, onde
é um número real. Ou seja, não conseguimos alcançar vetores onde a segunda componente
é diferente de zero.
Passo 5
Como não conseguimos gerar vetores com a segunda componente diferente de zero, o conjunto
não consegue gerar todo o espaço
. Portanto, ele não satisfaz uma das condições necessárias para ser uma base.
Resposta
O conjunto
não é uma base de
porque, apesar de ser linearmente independente, não consegue gerar todo o espaço
, já que apenas pode formar vetores da forma
, deixando de fora qualquer vetor com a segunda componente diferente de zero.
Exercícios relacionados
Verifique se o conjunto
é base do espaço vetorial
.
e
.
Verifique se
pertence ao subespaço vetorial
.
e
.
Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais.
.
Prove que todo conjunto com 3 vetores (ou mais) em
é L.D.