Verifique se é verdadeiro ou falso: |x-1|<10^(-2) => |f(x)-3|<10^(-1), onde f(x) = 4x - 1

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a implicação é verdadeira ou falsa, onde a função f(x) é definida por . Esse problema está relacionado ao estudo de funções e desigualdades, especificamente envolvendo propriedades de funções lineares e manipulação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a implicação apresentada. A expressão nos diz que a variável x está a uma distância menor que do valor 1. Estamos interessados em saber se essa proximidade em x garante que f(x) esteja a uma distância menor que de .

Passo 3

Vamos começar calculando f(x):
Agora, queremos encontrar :

Passo 4

A partir da desigualdade inicial , podemos multiplicar ambos os lados por (já que é um número positivo, a desigualdade não muda de sentido):

Passo 5

Observamos que é exatamente . Portanto:

Passo 6

Comparando com a condição que queremos verificar, que é (ou ), vemos que:
Isso significa que se , então , o que obviamente é menor que .

Resposta

Verdadeiro. A implicação é verdadeira.

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Verifique se é verdadeiro ou falso: |x - 2| < 10^-2 => |f(x) - 5| < 10^-1, onde f(x) = 2 x + 1
Verifique se é verdadeiro ou falso:
a) |x - 2| < 10^(-1) => |f(x) - 5| < 10^(-1), onde f(x) = 2 x + 1
Para quais valores delta > 0 são verdadeiras as afirmações: |x-2| < delta => |f(x) - 5| < 0.1, onde f(x) = 2 x + 1
Para cada item abaixo, determine um valor delta > 0 (em função de epsilon ) que torne a implicação verdadeira: |x-2|<delta => |f(x)-5|<epsilon, onde f(x) = 2 x + 1