Verifique se os vetores abaixo são coplanares: u=(2,4,6), v=(1,1,3) e w=(6,12,18)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se os vetores u=(2,4,6), v=(1,1,3) e w=(6,12,18) são coplanares. Isso está relacionado ao estudo de vetores no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar o produto misto dos vetores, que nos ajuda a determinar se eles estão todos no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que três vetores são coplanares se o produto misto deles for igual a zero. O produto misto é calculado usando o determinante de uma matriz formada pelos componentes dos vetores. Então, vamos montar essa matriz com os vetores u, v e w como colunas:
2 & 1 & 6 4 & 1 & 12 6 & 3 & 18

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Determinante = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
a = 2, b = 1, c = 6 d = 4, e = 1, f = 12 g = 6, h = 3, i = 18
Calculando cada parte:
ei - fh = (1)(18) - (12)(3) = 18 - 36 = -18 di - fg = (4)(18) - (12)(6) = 72 - 72 = 0 dh - eg = (4)(3) - (1)(6) = 12 - 6 = 6
Agora, substituímos de volta na fórmula do determinante:
Determinante = 2(-18) - 1(0) + 6(6) = -36 - 0 + 36 = 0

Passo 4

O determinante deu zero! Isso significa que o produto misto dos vetores é zero, indicando que os três vetores estão no mesmo plano, ou seja, são coplanares.

Resposta

Sim, os vetores u, v e w são coplanares.

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