Verifique se
para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se as derivadas parciais mistas
e
são iguais. Isso envolve conhecimentos de cálculo de derivadas parciais e a propriedade de igualdade das derivadas mistas sob certas condições.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, aplicamos a regra da derivada para cada termo da função:
Derivando em relação a
:
Sabemos que:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (já que é constante em relação a ). - A derivada de
em relação a é (usando a regra da derivada de ).
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Derivando em relação a
:
Sabemos que:
- A derivada de
em relação a é 0 (já que não depende de ). - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Voltando à função original:
Derivando em relação a
:
Sabemos que:
- A derivada de
em relação a é 0. - A derivada de
em relação a é (usando a regra da derivada de ). - A derivada de
em relação a é (já que é constante em relação a ).
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Derivando em relação a
:
Sabemos que:
- A derivada de
em relação a é (já que é constante em relação a ). - A derivada de
em relação a é .
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais mistas são iguais, ou seja,
.
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para todo
, então
é convergente.
(e) Se
Encontre a solução da EDO
e determine o campo de direções dela (Utilize algum software)
Seja
dada por:
Encontrar os valores de máximos e mínimos locais.