Os vértices B e C de um quadrado BCDE estão sobre a reta AC cuja equação é , sendo A e C pontos sobre os eixos coordenados, conforme mostra a figura. Se a área do quadrado é 5, a equação da reta AE é:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um quadrado BCDE onde os vértices B e C estão sobre a reta AC, que tem a equação . Os pontos A e C estão sobre os eixos coordenados, ou seja, A está em um dos eixos e C no outro. Sabemos também que a área do quadrado é 5. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta AE.

Passo 2

Vamos identificar as coordenadas dos pontos A e C. Como A e C estão sobre os eixos coordenados, uma delas está no eixo x e a outra no eixo y. Vamos supor que A está no eixo x ( ) e C está no eixo y ( ).

Passo 3

Substituindo na equação da reta AC para encontrar as coordenadas de A:
Então, A está no ponto .

Passo 4

Agora, substituímos na equação da reta AC para encontrar as coordenadas de C:
Então, C está no ponto .

Passo 5

O quadrado BCDE tem BC como um dos lados, e B e C estão na reta AC. Para encontrar a posição de B, precisamos usar a informação da área do quadrado, que é 5. A área do quadrado é igual ao quadrado do comprimento de um lado:
Á

Passo 6

Sabendo que BC é um lado do quadrado com comprimento , podemos usar a distância entre B e C para encontrar as coordenadas de B. Sabemos que C está em , então B deve estar a uma distância de C na reta AC.
Vamos calcular a direção da reta AC. A inclinação da reta é:
Então, a direção da reta é para cima e para a direita. Portanto, a coordenada de B será , onde é o ângulo da inclinação.

Passo 7

Calculando a partir da inclinação :
Então:

Passo 8

Usando as identidades trigonométricas:
Portanto:

Passo 9

Agora que temos as coordenadas de B e C , podemos encontrar a equação da reta AE. Sabemos que A está em e E será um vértice do quadrado.

Passo 10

O ponto E está conectado a A formando o lado AE do quadrado, que é perpendicular a BC. A inclinação de BC pode ser encontrada:
Como AE é perpendicular a BC, a inclinação de AE será o negativo do inverso de :

Passo 11

Usando o ponto A e a inclinação , podemos escrever a equação da reta AE usando a forma :

Resposta

A equação da reta AE é .

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